Задача 2 от СУ в примерните теми

[nikolavp]

Може и да е пускана някъде тук, но не можах да я открия ;(


2. Намерете сумата от първите n члена на редицата
[tex]1, 11, 111, 1111, ..., \underbrac{11..1}_{n}, ...[/tex]

Стигнат до извода, че тия членове са суми на m(където m е поредния номер) членове на геометрична прогресия с [tex]q=10[/tex] и първи член 1, но натам не мога ;(

[Реклама]

[ганка симеонова]

ако имаш малко търпение, ще я нахвърля
дълга и досадна задача..

[nikolavp]

[ганка симеонова]

представям числата в десетичен запис по редове:

1 ред [tex]1 [/tex]
2 ред [tex]1+10.1 [/tex]
3 ред [tex]1+10.1+10^2.1 [/tex]
..............................................
к ред [tex]1+10.1+10^2.1+....10^{k-1}.1 [/tex]

сумираме по колони. получаваме:

[tex]\sum_{}^{ } =1.k+10(k-1)+10^2(k-2)+...+10^{k-1}.[k-(k-1)] [/tex]

[tex]\sum_{}^{ } =k+k.10^1+k.10^2+....k.10^{k-1}-10(1+2.10+3.10^2+....+(k-1).10^{k-2}) [/tex]

[tex]\sum_{}^{ } =k(1+10^1+10^2+...10^{k-1})-10(1+2.10+3.10^2+....+(k-1).10^{k-2}) [/tex]

първата скоба е сума на членове на феометрична прогресия. за сумата във втората ще дам едно решение на една по- обща задача, която я пусках във форума. нона я беше решила. аз сега ще дам свое решение..

да се намери сумата на [tex]1+2x+3x^2+...nx^{n-1} [/tex] ... в твоя случай х=10, k=n+1
забелязваме, че търсената сума е производна на сумата [tex]x+x^2+x^3+...+x^n=\frac{x^{n+1}-1}{ x-1} [/tex]- прилагам формулата за сума на членове на геом. прогресия.
намираш производната на последното и си готов.
остава само да сглобиш....

[nikolavp]

О боже, гледах го 3 минути и чак накрая го разбрах, но поне го разбрах. Много хубаво решение. Мерси много, инче за втората скоба гледах решението на Нона

[ганка симеонова]

то е почти същото и много елегантно...

[Relinquishmentor]

Аз получавам това (ако съм разбрал задачата правилно):

[tex]a_n = \frac{10^n - 1}{9}[/tex]
[tex]\sum_{\nu=1}^{n} a_\nu = \frac{10}{81}(10^n -1) + 1 - \frac{n}{9} [/tex]

[ганка симеонова]