7клас

[ani_t0]

Върху страната BC на остроъгълен триъгълник ABC с ъгъл ACB=54 е взета точка D така,че AD=CD(D е между B и C).Ъглополовящите на ъгъл ADC и ADB пресичат AC и АB съответно в точките Е и F,а М е пресечната точка на правите BC и EF.Да се намери градусната мярка на ъгъл DEF ако ЕF=2DM.
Отговор:12

[Реклама]

[ianikia]

▲ADC - равнобедрен и DE - ъглополовяща => DE - височина => <EDC=90°-54°=36°
<EDF=<ADC/2+<ADM/2=90° => ▲EFD - правоъгълен
За медианата към хипотенузата DP имаме DP=EP=PF=DM =>
▲EPD - равнобедрен => <PED=<PDE
▲PMD - равнобедрен => <PMD=<MPD=<PED+<PDE=2<PED
<CDE=36°=<MED+<EMD=3<PED => <PED=12°

П.П. Точката М е най-долу вдясно - пропуснала съм да я означа.
П.П.П. Уф, ама къде ми е главата! - горната точка F трябва да е D

[raza68]

как доказваш, че ДР е медиана

[ianikia]

Аз не доказвам, че DP е медиана, а просто си я построявам. И понеже ▲EFD е правоъгълен => DP=EF/2=EP=FP=DM (последното следва от това, че EF=2DM)
Оправих чертежа: