Пирамида ABCD

[LDV]

Дадена е триъгълна пирамида ABCD с основа равнобедрен [tex]\Delta ABC[/tex] (AC=BC), AB=1, [tex]\angle ABC=\alpha [/tex]. Околните стени на пирамида сключват с основите равни ъгли с големина [tex]\beta [/tex], а височината й DH е равна на [tex]\frac{1}{2} cotg\frac{\alpha }{2}.tg\beta [/tex]. Да се пресметне косинусът на двустенният ъгъл с ръб CD.

След известни доказателства се разбира че т. D e центъра на ОПИСАНАТА около [tex]\Delta ABC[/tex] окр.
За да намерим искания ъгъл може да ползваме че
[tex] S_{BCD}=\frac{S_{HBC}}{cos\beta }[/tex];

[tex]BC=\frac{\frac{1}{2} AB}{cos\alpha }=\frac{1}{2cos\alpha}[/tex]
и съм до тук т.к. имам и решението но там пише че
[tex]BH=\frac{\frac{1}{2}AB}{cos(90^\circ -\alpha) }[/tex]
но не е ли
[tex]BH=\frac{\frac{1}{2}AB}{cos(90^\circ -2\alpha) }[/tex], т.к. [tex]\Delta HBC[/tex] става равнобедрен (H на равни разстояние до С и В)
[tex]\angle HCB = 90^\circ - \alpha =\angle HBC[/tex]
[tex]\angle HBC= \angle ABC + \angle HBA \Rightarrow \angle HBA = 90^\circ - \alpha - \alpha = 90^\circ - 2\alpha [/tex]
Моля за някаква помощ или напътствие каде греша и ако може да не ми решавате задачата

[Реклама]

[ObsCure]

Предполагам си искал да кажеш,че точка D се проектира в центърът на описаната окръжност,а не че D е център.Има и нещо друго-тей като всички околни стени сключват един и същ ъгъл с равнината на основата,трябва да използваш вписаната,а не описаната окръжност.

[LDV]

Да всъщност това исках да кажа . А не мога ли да ползвам че [tex]\Delta HBC [/tex] е ортогонална проекция на [tex]\Delta BCD [/tex] , а двустенният ъгъл между тяхните равнини е [tex]\beta [/tex] ? от лицето на [tex]\Delta HBC [/tex] намирам CH, a от него и CD по Питагорова теорема за [tex]\Delta CHD [/tex]. от там вече и ползвам равенството между лицата на [tex]\Delta HBC [/tex] и [tex]\Delta BCD [/tex] . намирам лицето на [tex]\Delta BCD [/tex], което е и [tex]\frac {1}{2} CD.BN [/tex] и след намирането на BN намираме и [tex] cos\angle ANB [/tex] от [tex]\Delta ANB [/tex]

[ObsCure]

Решение:Вече споменахме,че т.D се проектира в центърът на вписаната окръжност,т.е.

[tex]PH=r[/tex]

Височината към основата в ▲ABC е и медиана => [tex]PB=\frac{1}{2}[/tex]

Спускаме ъглополовящата от връх B към H.В полученият правоъгълен триъгълник имаме

[tex]<HBP=\frac{\alpha}{2}[/tex]

откъдето

[tex]PH=r=\frac{1}{2}tg\frac{\alpha}{2}[/tex]

Височината към основата е

[tex]CP=\frac{1}{2}tg\alpha[/tex]

Сега ще намерим частта CH...

[tex]CH=CP-PH=\frac{1}{2}(tg\alpha-tg\frac{\alpha}{2})[/tex]

Лесно се доказва с тригонометрия,че

[tex]CH=\frac{1}{2}tg\frac{\alpha}{2}\frac{1}{cos\alpha}[/tex]

Оттук с Питагор изразяваш дължината на CD и директно намираш след това и

[tex]cos\varphi=\frac{HC}{CD}[/tex]

[tex]\varphi=<DCH[/tex]

[LDV]

Ако D се проектира в центъра на вписаната окръжност, то DH става равно на [tex]rtg\beta[/tex] където [tex]r=\frac{1}{2} tg \frac{\alpha }{2}[/tex] , където r e радиусът на тази окръжност от което следва че [tex]DH=\frac{1}{2}tg\frac{\alpha }{2}tg\beta [/tex], което не отговаря на условието на задачата

[ObsCure]

Ако се проектираше в центъра на описаната окръжност,всички ъгли,които околните ръбове сключват с равнината на основата щяха да са равни,тоест противоречие в условието.

[LDV]

Но защо да е противоречие ?Ъгълът който (ABC) сключва с (ABD) е възможно най-малкият ъгъл между тях. Т.е. ако приемем че АВ пресича СН в т. К примерно то [tex]\angle DKH=\beta [/tex]

[ObsCure]

[LDV]

Аха, разбрах си грешката, но въпреки това този ъгъл който посочих не може да е [tex]\beta [/tex], така ли? А и под вписана окръжност не може ли да се разбира и външно вписана ?

[ObsCure]

[mim4ety]

Дадена е n-пирамида основният ръб е a,а височината е h.Да се намери околния ръб на пирамидата ако:n=4

[ганка симеонова]