системичка:)

[ганка симеонова]

Да се реши системата

[tex]x^2-2\sqrt{2y-1}+1=0 [/tex]
[tex]y^2-2\sqrt{2x-1}+1=0 [/tex]

[Реклама]

[Tony_89]

ДС:

[tex]|x \ge \frac{1}{2}[/tex]
[tex]|y \ge \frac{1}{2}[/tex]

[tex]x^{2} - 2\sqrt{2y - 1} + 1 = 0[/tex]

[tex]2y - 1 - 2\sqrt{2y - 1} + 1 = -x^{2} - 1 + 2y[/tex]

[tex](\sqrt{2y - 1} - 1)^{2} = -x^{2} - 1 + 2y[/tex]

[tex]y^{2} - 2\sqrt{2x - 1} + 1 = 0[/tex]

[tex]2x - 1 - 2\sqrt{2x - 1} + 1 = -y^{2} - 1 + 2x[/tex]

[tex](\sqrt{2x - 1} - 1)^{2} = -y^{2} - 1 + 2x[/tex]

[tex]|(\sqrt{2y - 1} - 1)^{2} = -x^{2} - 1 + 2y[/tex]
[tex]|(\sqrt{2x - 1} - 1)^{2} = -y^{2} - 1 + 2x[/tex]

[tex](\sqrt{2y - 1} - 1)^{2} + (\sqrt{2x - 1} - 1)^{2} = - x^{2} + 2x - 1 - y^{2} + 2y - 1 = -(x - 1)^{2} - (y - 1)^{2}[/tex]

[tex](\sqrt{2y - 1} - 1)^{2} + (\sqrt{2x - 1} - 1)^{2} + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 0[/tex]

Това равенство се достига, когато всички квадрати са равни на 0 или x = y = 1.

[Relinquishmentor]

А дали може да се реши така:

[tex]x^2-2\sqrt{2y-1}+1=0 [/tex]
[tex]y^2-2\sqrt{2x-1}+1=0 [/tex]

[tex](x^2 + 1)^2 = 8y-4[/tex]
[tex](y^2 + 1)^2 = 8x-4[/tex]

[tex]x^4 + 2x^2 +1 = 8y-4[/tex]
[tex]y^4 + 2y^2 +1 = 8x-4[/tex] Вадим:

[tex]x^4 - y^4 + 2(x^2 - y^2) = 8(y-x)[/tex]
[tex] (x-y)(x+y)(x^2+y^2) + 2(x-y)(x+y) = 8(y-x)[/tex] Предполагаме, че [tex]y\ne x[/tex]
[tex](x+y)(x^2+y^2) +2(x+y) = -8[/tex] - невъзможо, следва y=x.

[ганка симеонова]

в грешка си....

[r2d2]

Вадим от първото у- ние второто и записваме във вида:

[tex]x^2+2\sqrt{2x-1}=y^2+2\sqrt{2y-1}[/tex]

Очевидно ако х>у лявата страна > дясната и обратното => х= у.