вписано кълбо

[ганка симеонова]

Нека [tex]h_!, h_2, h_3, h_4[/tex]са четирите височини на тетраедър. Да се докаже, че радиусът r на вписаното кълбо се определя от равенството
[tex]\frac{1}{ r}=\frac{1}{h_1 } +\frac{1}{h_2 } +\frac{1}{h_3 } +\frac{1}{h_4 } [/tex]

[Реклама]

[Tony_89]

Нека [tex]S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}[/tex] да са лицата на съответните стени на тетраедъра.

[tex]\frac{1}{3}.r.(S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}) = V[/tex]

[tex]r = \frac{3V}{S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}}[/tex]

[tex]\frac{1}{r} = \frac{S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}}{3V} = \frac{S_{1}}{3V} + \frac{S_{2}}{3V} + \frac{S_{3}}{3V} + \frac{S_{4}}{3V}[/tex]

[tex]\frac{1}{3}.h_{1}.S_{1} = V[/tex]

[tex]\frac{1}{h_{1}} = \frac{S_{1}}{3V} => [/tex]

[tex]=> \frac{1}{r} = \frac{1}{h_{1}} + \frac{1}{h_{2}} + \frac{1}{h_{3}} + \frac{1}{h_{4}}[/tex]

[ганка симеонова]

Браво!