| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
Spider Iovkov
VIP
Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273
  
гласове: 129
|
 Пуснато на: Mon Jun 23, 2008 8:23 am Заглавие: Екстремум |
|
|
Дадено е уравнението [tex]x^2-k^2x+k^2+9=0[/tex] с реални корени [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex]. Определете стойностите на параметъра, при които изразът
[tex]\frac{1}{x_{1}^2x_{2}}+\frac{1}{x_{1}x_{2}^2}[/tex]
има екстремум и да се пресметне този екстремум. |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
ObsCure
Фен на форума
Регистриран на: 02 Jul 2007
Мнения: 990
Местожителство: Казанлък/Пловдив
гласове: 28
|
| Пуснато на: Mon Jun 23, 2008 8:38 am Заглавие: |
|
|
Нека
[tex]A=\frac{1}{x_{1}^2x_{2}}+\frac{1}{x_{1}x_{2}^2}=\frac{x_{1}^2x_{2}+x_{2}^2x_{1}}{x_{1}^3x_2^3}[/tex]=
=[tex]\frac{x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})}{x_{1}^3x_{2}^3}[/tex]
Чрез Виет получаваме
[tex]A=\frac{k_^{2}(k_^{2}+9)}{(k_^{2}+9)_^{3}}[/tex]
Изследвайки тази функция спрямо k ще намерим търсеният екстремум. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Mon Jun 23, 2008 8:07 pm Заглавие: |
|
|
може да ги посъкратиш малко  В началото общият знаменател е [tex]x_1^2x_2^2[/tex] Иначе ми е интересно няма ли и някакво друго решение, може би утре или други ден ще помисля |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ObsCure
Фен на форума
Регистриран на: 02 Jul 2007
Мнения: 990
Местожителство: Казанлък/Пловдив
гласове: 28
|
| Пуснато на: Mon Jun 23, 2008 8:27 pm Заглавие: |
|
|
| Със сигурност има и друго решение,което не включва производни. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
nikolavp
Фен на форума
Регистриран на: 20 Apr 2008
Мнения: 701
гласове: 13
|
| Пуснато на: Mon Jun 23, 2008 8:29 pm Заглавие: |
|
|
| ObsCure написа: | Нека
[tex]A=\frac{1}{x_{1}^2x_{2}}+\frac{1}{x_{1}x_{2}^2}=\frac{x_{1}^2x_{2}+x_{2}^2x_{1}}{x_{1}^3x_2^3}[/tex]=
=[tex]\frac{x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})}{x_{1}^3x_{2}^3}[/tex]
Чрез Виет получаваме
[tex]A=\frac{k_^{2}(k_^{2}+9)}{(k_^{2}+9)_^{3}}[/tex]
Изследвайки тази функция спрямо k ще намерим търсеният екстремум. |
Когато търсиш екстремуми винаги трябва от някъде да ти дойде интервал. Не го забравяй  . В случая ще трябва да се съобразиш с дискриминантата  |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ObsCure
Фен на форума
Регистриран на: 02 Jul 2007
Мнения: 990
Местожителство: Казанлък/Пловдив
гласове: 28
|
| Пуснато на: Mon Jun 23, 2008 8:31 pm Заглавие: |
|
|
| Изразът е положителен за всеки избор на k,Никола... |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова
SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
гласове: 298
|
| Пуснато на: Mon Jun 23, 2008 8:42 pm Заглавие: |
|
|
| ObsCure написа: | | Изразът е положителен за всеки избор на k,Никола... |
това не значи, че няма екстремум... |
|
| Върнете се в началото |
|
|
nikolavp
Фен на форума
Регистриран на: 20 Apr 2008
Мнения: 701
гласове: 13
|
| Пуснато на: Mon Jun 23, 2008 8:42 pm Заглавие: |
|
|
| ObsCure написа: | | Изразът е положителен за всеки избор на k,Никола... |
[tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] трябва да са корени на уравнението. Аз получавам, че [tex]k^2 \in [2-2\sqrt{10};2+2\sqrt{10}][/tex]. Трябва да се съобразиш с това
Последната промяна е направена от nikolavp на Mon Jun 23, 2008 8:45 pm; мнението е било променяно общо 1 път |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ObsCure
Фен на форума
Регистриран на: 02 Jul 2007
Мнения: 990
Местожителство: Казанлък/Пловдив
гласове: 28
|
| Пуснато на: Mon Jun 23, 2008 8:44 pm Заглавие: |
|
|
| ганка симеонова написа: | | ObsCure написа: | | Изразът е положителен за всеки избор на k,Никола... |
това не значи, че няма екстремум... |
Че има,има.Но все пак фактите за k са си факти. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ObsCure
Фен на форума
Регистриран на: 02 Jul 2007
Мнения: 990
Местожителство: Казанлък/Пловдив
гласове: 28
|
| Пуснато на: Mon Jun 23, 2008 8:45 pm Заглавие: |
|
|
| nikolavp написа: | | ObsCure написа: | | Изразът е положителен за всеки избор на k,Никола... |
[tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] трябва да са корени на уравнението. Аз получавам, че [tex]k \in [2-2\sqrt{10};2+2\sqrt{10}][/tex]. Трябва да се съобразиш с това |
Да,само че след като се намери екстремумът. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
nikolavp
Фен на форума
Регистриран на: 20 Apr 2008
Мнения: 701
гласове: 13
|
| Пуснато на: Mon Jun 23, 2008 8:48 pm Заглавие: |
|
|
| ObsCure написа: | | nikolavp написа: | | ObsCure написа: | | Изразът е положителен за всеки избор на k,Никола... |
[tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] трябва да са корени на уравнението. Аз получавам, че [tex]k \in [2-2\sqrt{10};2+2\sqrt{10}][/tex]. Трябва да се съобразиш с това |
Да,само че след като се намери екстремумът. |
Всъщност имах грешка, защото бях положил и не се съобразих [tex]k \in [0;\sqrt{2+2.\sqrt{10}}][/tex] и извън тази стойност нямаш [tex]x_{1,2}[/tex] => Ако получиш екстремум извън тоя интервал всъщност си получил едно голямо НИЩО |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ObsCure
Фен на форума
Регистриран на: 02 Jul 2007
Мнения: 990
Местожителство: Казанлък/Пловдив
гласове: 28
|
| Пуснато на: Mon Jun 23, 2008 8:53 pm Заглавие: |
|
|
| Честно казано,явно задачата става прекалено сложна с производни.Ще трябва да намерим друг начин. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
nikolavp
Фен на форума
Регистриран на: 20 Apr 2008
Мнения: 701
гласове: 13
|
| Пуснато на: Mon Jun 23, 2008 8:54 pm Заглавие: |
|
|
| ObsCure написа: | | Честно казано,явно задачата става прекалено сложна с производни.Ще трябва да намерим друг начин. |
Сега слагам решение
За да имаме реални корени на това уравнение, трябва дискриминантата да е по - голяма от 0 => [tex]k \in [0;\sqrt{2+2\sqrt{10}][/tex] (1)
[tex](\frac{(k^4+9k^2)}{(k^2+0)^3})'=(4k^3+18k)(k^2+9)^3-3(k^2+9)^{2}(-2k)(k^2+9)k^2=(k^2+9)^3(4k^3+18k-6k^3)=\\ =(k^2+9)^3(18k-2k^3)=2k(k^2+9)^3(9-k^2)[/tex]
корените са [tex]k_{1,2,3}=\mp 3;0[/tex]. От тях само [tex]0 \in (1)[/tex] само в нея имаме екстремум, който принадлежи на въпросния интервал и той е минимум При 0 това цялото приема стойност нуличка
Последната промяна е направена от nikolavp на Mon Jun 23, 2008 9:04 pm; мнението е било променяно общо 1 път |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ObsCure
Фен на форума
Регистриран на: 02 Jul 2007
Мнения: 990
Местожителство: Казанлък/Пловдив
гласове: 28
|
| Пуснато на: Mon Jun 23, 2008 9:04 pm Заглавие: |
|
|
Браво!И аз установих,че само 0 е отговор,но по друг начин,а именно,проверявайки кога отношението е най-голямо.Всъщност е елементарно,но не се сетих по-рано.Щом и в числителят и знаменателят изразите винаги са положителни,то единственият вариант за минимум е,когато
A=0
т.е. k=0.
По този начин няма нужда от производни. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
nikolavp
Фен на форума
Регистриран на: 20 Apr 2008
Мнения: 701
гласове: 13
|
| Пуснато на: Mon Jun 23, 2008 9:14 pm Заглавие: |
|
|
| ObsCure написа: | Браво!И аз установих,че само 0 е отговор,но по друг начин,а именно,проверявайки кога отношението е най-голямо.Всъщност е елементарно,но не се сетих по-рано.Щом и в числителят и знаменателят изразите винаги са положителни,то единственият вариант за минимум е,когато
A=0
т.е. k=0. |
Хубава логика, но от къде знаеш, че не се търси максимум ?. Дробта е много хубава за максимуми  |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ObsCure
Фен на форума
Регистриран на: 02 Jul 2007
Мнения: 990
Местожителство: Казанлък/Пловдив
гласове: 28
|
| Пуснато на: Mon Jun 23, 2008 9:15 pm Заглавие: |
|
|
| Хм...още по-хубав въпрос. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
Меню
Регистрирайте се
