*Неравенство*

[Spider Iovkov]

Да се докаже, че ако [tex]n[/tex] е естествено число, то

[tex]\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}[/tex].

[Реклама]

[ганка симеонова]

[tex]\frac{1}{k(k+2) }=\frac{1}{2k } -\frac{1}{2(k+2) } [/tex]

[Spider Iovkov]

Нека лявата страна означим с [tex]S[/tex]. Тогава
[tex]2S=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+...+\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}[/tex]. Но
[tex]\frac{2}{1.3}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3} (1),[/tex]
[tex]\frac{2}{3.5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5} (2),[/tex]
[tex]\frac{2}{5.7}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7} (3),[/tex]
[tex]................................................................[/tex]
[tex]\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} (n),[/tex]

[tex](1)+(2)+(3)+...+(n) \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow 2S=1-\frac{1}{2n+1},[/tex]
[tex]2S=\frac{2n}{2n+1},[/tex]
[tex]S=\frac{n}{2n+1}[/tex]