Задача за футболна топка

[Saposto_MM]

Да се намери броя на петоъгълниците и шестоъгълниците върху стандартна футболна топка. За неинтересуващите се от футбол ще кажа, че върху една футболна топка има само петоъгълници и шестоъгълници, като до всяка страна на петоъгълник се допира страна на шестоъгълник, а до три несъседни страни на шестоъгълник се допират страни на петоъгълници, а до останалите три се допират страни на шестоъгълници.

[Реклама]

[Пафнутий]

Ето и футболна топка-

Ще разгледаме футболната топка като един многостен, съставен само от петоъгълници и шестоъгълници. Нека броят на петоъгълниците да бележим с [tex]x[/tex] ,а на шестоъгълниците с [tex]y[/tex]. Освен това нека броя на на стените на многостена да означим с [tex]S[/tex], на върховете-с [tex]V[/tex], а на ръбовете-с [tex]R[/tex]. От пространствената теорема на Ойлер имаме: [tex]S+V-R=2 (*)[/tex]
Лесно се съобразява, че [tex]S=x+y[/tex].Виждаме и, че броят на върховете на многостена ([tex]V[/tex]) е равен на броя на върховете на петоъгълниците, т.е [tex]V= 5.x[/tex].Сега трябва да намерим и броя на ръбовете. Лесно се съобразява, че от всеки връх излизат по три ръба, т.е [tex]R=15.x[/tex] , но всеки ръб е броен 2 пъти (с начало и край- върхове) или [tex]R=\frac{15}{2}.x[/tex]. Като се върнем в [tex](*)[/tex], получаваме [tex]2y-3x=4(**)[/tex].Това уравнение е диофантово и има безброй много цели решения. Тогава трябва да се върнем и да забележим някаква друга зависимост между [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex]. Вижда се, че всеки шестоъгълник е ограден от 3 петоъгълника, а всеки петоъгълник- от 5 шестоъгълника [tex]\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{3}{5}[/tex]. Като се върнем в [tex](**)[/tex], получаваме, че [tex]x=12[/tex] и [tex]y=20[/tex]. Следователно петоъгълниците са [tex]12[/tex], а шестоъгълниците-[tex]20[/tex].
ПП Благодаря на ММ за хубавата задача, както и за теоремата на Ойлер
ППП. Само Левски!!!

[jeo]

Хареса ми и задачата и решението, сега ми се искаше да имам и топка под ръка, за да проверя емпирично отговора