Задачи от функции

[nikolavp]

Мисля, че са доста подходящи за кандидат-студенти, затова ги пускам в този раздел

1) Дадено е уравнението [tex]x^3-3x+1=0[/tex]. Докажете:
а) уравнението има три различни реални корена и за тях е изпълнено [tex]-2 < x_{1} < 0 < x_{2} < 1 < x_{3} < 2[/tex];
б) ако a е корен на уравнението, то [tex]\frac{1}{1-a}[/tex] е също корен;

2) Нека [tex]f(x)=ax^2+bx+c, a > 0, b, c [/tex] са реални числа и [tex]b\ge \frac{1}{8a}[/tex]. Докажете, че [tex]f(D) \ge 0[/tex], където D е дискриминантата на f(x).

3) За кои стойности на реалния параметър а, един от корените на уравнението [tex]ax^4-(a-3)x^2+3a=0[/tex] е по - малък от -2, а останалите три са > -1?

Ще се радвам ако някой реши 1б) и 2-рата

[Реклама]

[martosss]

[ганка симеонова]

1б) а е корен на уравнението=>[tex]a^3-3a+1=0=>a^3-3a=-1 [/tex]
за да док, че[tex]\frac{1}{1-a } [/tex] е корен, ще докажем, че [tex]\frac{1}{(1-a)^3 }-3\frac{1}{1-a }=-1 [/tex]

[tex]\frac{1}{(1-a)^3 }-3\frac{1}{1-a }=\frac{1-3+6a-3a^2}{(1-a)^3 }=\frac{(a^3-3a^2+3a-1)-(a^3-3a+1)}{(1-a)^3 }=\frac{(a-1)^3}{(1-a)^3 }-\frac{a^3-3a+1}{(1-a)^3 }=-1 [/tex]

[ганка симеонова]

3) като съставим помощното квадратно уравнение, ще искаме то да има положителни корени, като [tex]t_1<1; t_2>4 [/tex]

[nikolavp]

Мерси много за 2-ра и 1 б). Изключително интересни идеи

[ганка симеонова]

е, 1б може би, но трета

[martosss]

на 1б) и на мен ми хареса Как ли не се мъчих и не излезна, браво лельо Ганке, чудовище сте

[nikolavp]

[ганка симеонова]

[martosss]

[ганка симеонова]

понякога ми присядат
един виц: дошъл си змеят от работа и попитал жена си: какво има за вечеря?
тя му казала: тримата братя, а за десерт- златната ябълка

[Nona]

Да направим задачата малко по-интересна:

[ганка симеонова]

нека положим, съобразно предното условие [tex]x_1=a=>x_2=\frac{1}{1-a }=\frac{1}{1-x_1 } [/tex]...(1)
[tex]x_2^3=3x_2-1 [/tex]

от (1)=>[tex]x_2(1-x_1)=1=>x_2-1=x_1x_2=>3x_2-1=2x_2+x_1x_2=>[/tex]

[tex]x_2^3=2x_2+x_1x_2/:x_2 =>x_2^2=2+x_1 [/tex]

[Nona]

Ами ако [tex]x_3=a?[/tex] Или [tex]x_2=a?[/tex]

[ганка симеонова]

мисля, че разбрах въпроса ти. втори опит
ще ползваме наредбата за корените на nikolavp.
нека [tex]x_2=a\in (0;1)=>\frac{1}{1-a }>1=>x_3=\frac{1}{1-a } [/tex]
от третата формула на виет=> [tex]x_1x_2x_3=-1=>x_1.\frac{a}{1-a }=-1=>x_1=\frac{a-1}{ a}<0 [/tex]
=> ще трябва да докажем, че: [tex]\frac{a-1}{a }+2=a^2 [/tex]
очевидно [tex]3a-1=a^3=>\frac{3a-1}{ a}=a^2=>\frac{(a-1)+2a}{a }=a^2=>\frac{a-1}{a }+2=a^2 [/tex]