Задача за опростяване

[Владислава]

Моля Ви помогнете,спешно за днес

(1-соsα)(1+cosα)=


отговорът трябва да се получи sin²α

Благодаря ВИ много!!!

[Реклама]

[ObsCure]

Леле,от кой сборник я взе таз задача?Прекалено е трудна.Ние толкова трудни задачи не решаваме

[ганка симеонова]

олеле погледни като на формула за съкратено умножение:
[tex](1-cos\alpha )(1+cos\alpha )=1-cos^2\alpha =sin^2\alpha [/tex]

[ганка симеонова]

[Владислава]

Благодаря ти страшно много.
И за да уточня,аз не съм 11клас и знам че е резил за мен, но проблема ми е че брат ми отива на поправителен и аз се опитвам да му помогна,но и идея си нямам как се решават тея задачи.
Всичко съм забравила, математиката не ми беше силна страна в училище

[ганка симеонова]

това е 9-класна задача

[ObsCure]

Значи брат Ви е в 11-ти клас и не може да докаже тази....ЛЕСНОТИЯ?Е,това обяснява нещата.

[Владислава]

Извинявайте, че Ви притеснявам, но трябва да реша около 20тина задачи от раздели Тригонометрични функции, ако Ви помоля да ми ги решите, може ли по някакъв начин да се отплатя, съжалявам но ми е много късно и немога да открия учител по математика да ми ги реши.

Благодаря за вниманието!

[ганка симеонова]

пускай ги!
ти не си виновна. евала, че искаш да помогнеш на брат си.

[Владислава]

Много,ама наистина много ти благодаря!!!

1.Опростете израза:
а) tg(90°+α).cotg(180°-α)-1/cos²(90°+α)=

отг: -1

[Владислава]

2. Пресметнете:
а) А=cos120°+ 3/4tg²150°-cotg²135°-sin²60°=

отг: -2

б) B=(cos²150°-sin²135°)cos180°+sin²30°=

отг: 0

[ганка симеонова]

значи, всичките тези преминавания на ъгли , кратни на 90 , на 180, 270, 360 градуса ги има в четиризначните таблици
[tex]-cotg\alpha (-cotg\alpha )-\frac{1}{ sin^2\alpha }=cotg^2\alpha - \frac{1}{ sin^2\alpha }=\frac{cos^2\alpha }{sin^2\alpha }- \frac{1}{ sin^2\alpha }=-\frac{1-cos^2\alpha }{sin^2\alpha }=-\frac{sin^2\alpha }{sin^2\alpha }=-1 [/tex]

[ганка симеонова]

0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 145, 180,...са таблични ъгли, т.е. тригонометричните им стойности ги има във всяка таблица. правя първата, втората ти с брат си сама

[tex]A=-\frac{1}{ 2}+\frac{3}{ 4}(-\frac{\sqrt{3} }{ 3})^2-(-1)^2-(\frac{\sqrt{3} }{2 })^2=-\frac{1}{2 }+\frac{3}{ 4}.\frac{3}{ 9}-1-\frac{3}{4 }=-2 [/tex]

[Владислава]

3. Намерете стойностите на останалите три тригонометрични функции, ако:
а)sinα=1/3, α\in (90°;180°)

отг: cosα=-2√2/2; tgα=-√2/4; cotgα=-2√

б)соsα=-2/5

отг: sinα=2√6; tgα=-√21/2; cotgα= -2√21/21

[ганка симеонова]

всяка тригонометрична функция в отделните квадранти има своя знак- плюс или минус. ъгълът е във втори квадрант=>[tex]cos\alpha <0 [/tex]
[tex]sin^2\alpha +cos^2\alpha =1=>cos^2\alpha =1-(\frac{1}{ 3})^2=1-\frac{1}{ 9}=\frac{8}{9 }=\frac{2^2.2}{ 3^2} [/tex]
[tex]=>cos\alpha =-\frac{2\sqrt{2} }{ 3} [/tex]
този знак се отчита при коренуването...
[tex]tg\alpha =\frac{sin\alpha }{ cos\alpha }=-\frac{1}{2\sqrt{2} } [/tex]
когато има корен в знаменател е прието да се рационализира, т.е. да умножим и разделим на корена=>
[tex]tg\alpha =-\frac{1}{2\sqrt{2} }.\frac{\sqrt{2} }{ \sqrt{2} }=-\frac{\sqrt{2} }{4 } [/tex]
[tex]cotg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }=-2\sqrt{2} [/tex]
втората ти сама, по същия начин....

[Владислава]

Обобшен ъгъл:

1.Намерете стойностите на синусите и косинусите на обобщените ъгли:
а) 450° б) -180° в) -450° г) 1080°

отг:а) 1,0 б) 0,-1 в) -1, 0 г) 0, 1

2.Намерете sinα, cosα, tgα, cotgα, aко:
а) α=60°+ к.360°
б) α=150°+к.360°
в) α=-120°+к.360°
г) α=-45°+к.360°

отг: а) √3/2,1/2,√3,√3/3 б) 1/2, -√3/2,-√3/3,-√3 в) -√3/2,-1/2,√3,√3/3 г) -√2/2,√2/2,-1,-1

[Владислава]

Основни тригонометрични тъждества на ъгли, различаващи се с кратно на 90°

1. Намерете стойностите на тригонометричните функции на обобщени ъгли с градусни мерки:
а)-150°
б)-120°
в)-30°
г)300°
д)-45°
е)330°


2.Опростете изразите:
а) cos(270°-α)+cos(270°+α)=
otg: 0
б) tg(180°+α)/cotg(270°-α)=
otg: 1
в) sin²(90°-α)/cos(180°+α)=
otg: -cosα
г) sin(90°-α)+sin(270°+α)+2cos(180°-α)
otg: -2cosα
д) 2cos(270°-α)*sin(270°+α)*tg(180°-α)/cos(270°+α)*sin(180°-α)
otg: -2
е) tg(360°-α)*cos(180°-α)*tg(90°+α)/sin(270°-α)*cotg(90°+α)*tg(270°-α)
otg: -1

[Владислава]

Изменение на тригонометричнитев функции:

1.sin 180° sin380°
2.sin450° cos760°
3.sin(-90°) cos(-345°)
4.tg 225° sin450°
5.cotg(-135°) cos400°
6.sin 390° sin 380°
7. cos 340° cos (-70°)
8. cos 260° cos 230°

[Владислава]

Тригонометрични функции на реален аргумент:

1.Опрпстете изразите:
а) sin(-x).cotg(\pi - x)/ cos(2\pi -x)
otg:1

б) cos(-x).cotg(\pi /2+x) / sin(\pi +x)
otg:1

в) tg(\pi +x).cos(-x).cotg3\pi /2 / sin\pi /2
otg: 0

г) sin(\pi /2+x)+cos(x-\pi ) - tg(-x)
otg: tgx


2.Докажете тъждествата:

а) sinx/1-cosx = 1+cosx/sinx

б) tgx/1-tg²x*cotg²x-1/cotgx=1

в) sin(на 4та степен)x - cos(на 4та степен)x=sin²x-cos²x

г) (sinx+tgx)(cosx+cotgx)=(1+sinx)(1+cosx)


3.Намерете стойностите на останалите тригонометрични функции, ако:
а) sinx = -5/13, x\in (\pi ;3\pi /2)

б) cosx=8/17, x\in (3\pi /2;2\pi )

в) tgx=-7/24, x\in (\pi /2;\pi )

г) cotgx=8/15, x\in (\pi ;3\pi /2)

д) cosx=-84/85, x\in (\pi /2;\pi )

e) cosx=-3/5, x\in (\pi ; 3\pi /2)

4. Докажете тъждествата:

а) sinx(x-\pi )=-sinx

б) sin(x-3\pi /2)=cosx

в) cos(x-\pi )=-cosx

г) cos(x-3\pi /2)= -sinx

д) tg(x-\pi )=tgx

е) tg(x-3\pi /2) = -cotg x

[ганка симеонова]

по обобщен ъгъл
а) [tex]sin450^\circ =sin(90^\circ +360)=sin90^\circ =1 [/tex]
[tex]cos450^\circ =cos(90^\circ +360^\circ )=cos90^\circ =0 [/tex]
останалите аналогично
2) ползвай, че [tex]f(\alpha +k.360^\circ )=f(\alpha ) [/tex]
[tex]f(\alpha )[/tex]- коя да е тригонометрична функция

[Владислава]

ОСНОВНИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ТЪЖДЕСТВА:

1.Пресметнете:
а) sin65°cos25°+sin25°cos65°
б) sin50°cos20°-sin20°cos50°
в) cos110°cos50°+sin110°sin50°
г) cos20°cos70°-sin20°sin70°

2.Опростете изразите:
а) cos(30°+α) - cos (30° - α)
б) sin(α - 30°) + cos (60° - α)


3. Опростете изразите:
а) tg63°-tg33°/1+tg63°*tg33°

b) tg2α-tgα/1+tg2α*tgα

в) 1-tgα*tg2α/tgα+tg2α

4. Докажете тъждествата:
а) sin(α+β) sin( α-β) = sin²α-sin²β

б) cos(α+β) cos( α-β) = cos²α-sin²β

в) tgα+tgβ=sin(α+β)/cosαcosβ

г) cotgα+cotgβ= sin(α+β)/sinαsinβ

д) tgα-tgβ= sin(α-β)/cosαcosβ

е) cotgα-cotgβ= sin(β-α)/sinαsinβ

5. Намерете:
а) cos75°
б) sin105°
в) sin 35°, ако sin10°=α

6. Oпрпстете изразите:
a) 2sin15°*cos15°
б) 2sin18°*sin72°
в) cos25°*cos65°
г) 2cos²12°-1
д) 1-2sin²65°
е) cos²15°-sin²15°
ж) 2cos²(45°-α/2)-1
з) sin(45°+α)*sin(45°-α)

7. Пресметнете sinα,cosα,tgα и cotgα, ако:

а) sinα/2=1/√10, α/2\in (0°,90°)

б) cosα/2=5/√26, α/2\in (0;90°)

в) cosα/2=-3/5, α/2 \in (90°;180°)

г) tgα/2=3/4, α/2\in (0°;90°)

8. Представете израза sin(на 4та степен)α, като сбор на тригонометрични функции от 1ва степен.

9. Пресметнете sinα/2, cosα/2, tgα/2, cotgα/2, ako:

а) sinα=5/13, α\in (90°;180°)

б) sinα=-40/41, α\in (270°;360°)

в) cosα=11/61, α\in (0°;90°)


Това е края!!!

Благодаря ти много за отговорите, ще ги препиша, тези които са подобни ще ги реша сама, и пак много ама много ти благодаря!!!

И само ми кажи с какво мога да ти се отблагодаря за труда?!

[ганка симеонова]

с нищо

[Владислава]

А може ли и от другите,поне по едно примерче да мми е решено и ще се опитам сама да ги довърша?!

Благодаря!

[Zlatinster]

За да решиш задачите трябва да знаеш че cos(-α)=cosα,защото функцията е четна
И да можеш да разпишеш cos270°=cos(360°-90°)=cos(-90°)=cos90°=0 и аналогично за sin270°=sin(360°-90°)=sin(-90°)=-1
2.Опростете изразите:
а)Направо започвам с решението използвайки формулите
cos270°cosα+sun270°sinα+cos270°cosα-sin270°sinα=2cos270°cosα=2.0.cosα=0
б)tg(180°+α)/ctg(270°-α)=tgα/ctg(180°+90°-α)=tgα/tgα=1
в)sin²(90°-α)/cos(180°+α)=(sin90°cosα-cos90°sinα)²/-cosα=
=(cosα-sinα.0)²/-cosα=cos²/-cosα=-cosα
г)sin(90°-α)+sin(270°+α)+2cos(180°-α)=cosα+sin(360°-90°+α)-2cosα=
=cosα-cosα-2cosα=-2cosα
д)[2cos(270°-α)sin(270°+α)tg(180°-α)] / cos(270°+α)sin(180°-α)=
=[2cos(360°-90°-α)sin(360°-90°+α)(-tgα)] / (cos360°+90°)sinα=
=[-2cos(90°+α)(-sin(90°-α)(-tgα)]/-cos(90°-α)sinα=[2sinα(-cosα)(-tgα)]/sinα²=
=2cosα/sinα.(-tgα)=2ctgα(-tgα)=2.(-1)=-2
e)[tg(180°+180°-α)(-cosα)(-ctg)]/sin(360°-90°-α)(-tgα)tg(180°+90°-α)=
=[(-tgα)cosα(-ctgα)]/-sin(90°+α)(-tgα)ctgα=cosα/-cosα=-1

[Zlatinster]

Докажете тъждествата:
2.а)sinx/1-cosx=(1+cosx)/sinx
Умножаваме на кръст и получаваме тъждеството
sin²x=(1-cosx)(1+cosx)
1-cos²x=sin²x
б)tgx/[1-tgx²ctg²- 1/ctx]=-1
Тука мисля,че си объркала и трябва да е равно на -1
tgx/[1-1- 1/ctx]=-tgx.ctx=-1
в)sin⁴-cos⁴=sin²x-cos²x
(sin²x)²-(cos²x)²=
=(sin²x-cos²x)(sin²x+cos²x)=
(sin²x-cos²x)
=>sin²+cos²=
=(sin²x-cos²x)/(sin²x-cos²x)=1
г)(sinx+tgx)(cosx+ctgx)=(1+sinx)(1+cosx)
(sinx+sinx/cosx)(cosx+cosx/sinx)=[(sinxcosx+sinx)/cosx][(sinxcosx+cosx)/sinx]=
=[sinx(cosx+1)]/cosx.[cosx(sinx+1)]/sinx=(1+sinx)(1+cosx)
4.Докажете тъждествата:
a)sin(α+β)sin(α-β)=(sinαcosβ+sinβcosα)(sinαcosβ-sinβcosα)=
=sin²αcos²β-sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ-
-sin²βcos²α=sin²αcos²β-
-sin²βcos²α=
=sin²(1-sin²β)-sin²β(1-sin²α)=
=sin²α-sin²αsin²β-sin²β+
+sin²αsin²β=sin²α-sin²β

б)cos(α+β)cos(α-β)=cos²α-sin²β
(cosαcosβ-sinαsinβ)(cosαcosβ+sinαsinβ)=cos²αcos²β+
+sinαsinβcosαcosβ-sinαsinβcosαcosβ-sin²αsin²β=
=cos²αcos²β-sin²αsin²β=
=cos²α(1-sin²β)-sin²β(1-cos²α)=
=cos²α-cos²αsin²β-sin²β+
+sin²βcos²α=cos²α-sin²β

[Zlatinster]

в)tgα+tgβ=sin(α+β)/cosαcosβ
sinα/cosα+sinβ/cosβ=(sinαcosβ+sinβcosα)/cosαcosβ=sin(α+β)/cosαcosβ
г)ctgα+ctgβ=sin(α+β)/sinαsinβ
cosα/sinα+cosβ/sinβ=(cosαsinβ+cosβsinα)/sinαsinβ=sin(α+β)/sinαsinβ
д)tgα-tgβ=sin(α-β)/cosαcosβ
sinα/cosα-sinβcosβ=sinαcosβ-sinβcosα/cosαcosβ=sin(α-β)/cosαcosβ
е)ctgα-ctgβ=sin(β-α)/sinαsinβ
cosα/sinα-cosβ/sinβ=(cosαsinβ-cosβsinα)/sinαsinβ=sin(β-α)/sinαsinβ
5.a)cos75°=cos(120°-45°)=cos120°.cos45°+sin120°.sin45°
=-1/2.√2/2+√3/2.√2/2=√6/4-√2/4=(√6-√2)/4
б)sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=
=√3/2.√2/2+1/2.√2/2=(√6+√2)/4
в)sin35°=sin(45°-10°)=sin(45°-α)=sin45°cosα-sinαcos45°=
=√2/2 .cosα-√2/2 .sinα=√2/2(cosα-snα)