Две задачи

[ins-]

Задача 1. Даден е разностранен триъгълник ABC. Допирателните към описаната около триъгълника окръжност през A, B и C са означени с t1, t2, и t3. Правите, определени от BC, CA, AB са означени с l1, l2, l3. l1∩t1=M, l2∩t2=N, l3∩t3=P. Да се докаже, че M, N и P лежат на една права.

Задача 2. В правоъгълния триъгълник ABC (с прав ъгъл) е построена полуокръжност k, с център върху отсечката AB. k се допира до BC в точка M и до AC в точка N. Със CD (D принадлежи на AB) е означена височината през C. Да се докаже, че AM, BN и CD се пресичат в една точка.

Задачите са от книгата на един мой приятел от Италия. Надявам се да Ви харесат!

[Реклама]

[Nona]

Задача 2.

[tex]a_1=\frac{a^2}{c}, \ b_1=\frac{b^2}{c} \\ \triangle ANO\sim\triangle ABC \Rightarrow \frac{x}{b}=\frac{R}{a}\Rightarrow x=\frac{bR}{a} \\ \triangle OBM\sim\triangle ABC \Rightarrow \frac{y}{a}=\frac{R}{b}\Rightarrow y=\frac{aR}{b} \\ \frac{AN}{NC}.\frac{CM}{MB}.\frac{BD}{DA}= \frac{\frac{bR}{a}}{R}.\frac{R}{\frac{aR}{b}}.\frac{\frac{a^2}{c}}{\frac{b^2}{c}}=1[/tex]

От теоремата на Чева следва, че AM, BN и CD се пресичат в една точка.

[ins-]

Браво! Кратко, точно, ясно и съдържателно.

[Nona]

Задача 1.

[tex]\triangle ACP \sim \triangle CBP \Rightarrow \frac{AP}{CP}=\frac{CP}{BP}=\frac{AC}{BC} \Rightarrow \frac{AP}{BP}=\frac{AP}{CP}.\frac{CP}{BP}=\frac{AC^2}{BC^2} \\ \triangle ABM \sim \triangle CAM \Rightarrow \frac{BM}{CM}=\frac{AB^2}{AC^2} \\ \triangle ABN \sim \triangle BCN \Rightarrow \frac{CN}{BN}=\frac{BC^2}{AB^2} \\ \Rightarrow \frac{AP}{BP}.\frac{BM}{CM}.\frac{CN}{AN}=\frac{AC^2}{BC^2}.\frac{AB^2}{AC^2}. \frac{BC^2}{AB^2}=1[/tex]

От теоремата на Mенелай следва, че М, N и Р лежат на една права, известна като права на Лемоан (Lemoine line) за ▲АВС.

[ins-]

Който може, го може!

Мисля, обаче, че с тази задача може и да не се справиш:

Даден е триъгълник ABC. Точките M, N, P са избрани вътрешно на страните му AB, BC, CA съответно. U, V, W са съответно пресечните точки на AN и CM, BP и AN, CM и BP. Тригълника UVW е равностранен. Ако AM=BN=CP - можем ли да твърдим, че ABC е равностранен?

Основанията ми за подобни опасения са, че досега никой не се е справял с нея.

[martosss]

е ми аз я реших, само в едно не съм сигурен - може ли твърдим че два триъгълника са подобни ако две двойки страни са в някакво отношение, а третат двойка страни са успоредни ( в случая третата двойка съвпадат) Ако това може, значи го доказах , само тия подобни триъгълници ме притесняват

П.П. имам и ъгъл 60, но не е между двете страни с отношението

[Пафнутий]

[martosss]

[ins-]

Не те разбрах добре ... но знам, че ако два триъгълника имат общ равен ъгъл и пропорционални страни през този ъгъл - те са подобни, даже условието за успоредност е излишно. Пусни решение и ще се види дали грешиш.

[martosss]

Ето ми я идеята - правим Теореми на Менелай за АUC и ВР, за ABV u MC, за BCW u AN и получаваме ,примерно за АВV

че АМ/AU=BM/BW Сега за ▲AMU u ▲BMW МС е обща страна и за двата триъгълника, и те имат ъгъл 60, не може ли от всички тези неща, макар и разпокъсани, да твърдим че са подобни

[ins-]

Здравей, martosss,
Искам най напред да се извиня за закъснението, но имах много работа.
Значи ... отворих един зелен справочник и там намерих IV признак за подобие на триъгълници =>, че триъгълниците са подобни.
Бих искал да те помоля да напишеш подробно решението си.
И да докажеш този признак за подобие. Смятам, че ще е интересно - не съм виждал много задачи с него.
Разбрах от не особено достоверен източник, че задачата e давана на India TST 2008, но аз сам я измислих доста преди това.

[ганка симеонова]

[ins-]

Може и аз да греша, но от IV признак за подобие - следва, че са.
Видях си грешката - права си, Ганке, ама кой да види ...

[ins-]

Задачата, която предложих се оказа трудна - http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=214127 - там може да се види едно възможно решение.