неравенство*****

ганка симеонова

Да се докаже, че ако n е естествено число, то

[tex]\frac{1}{\sqrt{1}} +\frac{1}{\sqrt{2}} +...+\frac{1}{\sqrt{n}}\ge \sqrt{n} [/tex]

Реклама

martosss

Saposto_MM · Пуснато на: Sat Jun 21, 2008 10:26 am Заглавие:

Първи начин: Очевидно [tex]\sqrt{\frac{n}{1}}+\sqrt{\frac{n}{2}}+...+\sqrt{\frac{n}{n}}>n[/tex]. Умножаваме последното със [tex]\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex] и получаваме исканото.
Втори начин: Ще го докажем с индукция. Допускаме, че е вярно за някое m и ще го докажем за m+1. Имаме [tex]\frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{m}}>\sqrt{m}[/tex] и трябва да докажем, че [tex]\frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{m+1}}>\sqrt{m+1}[/tex]. Ще докажем, че [tex]\sqrt{m}+\frac{1}{\sqrt{m+1}}>\sqrt{m+1}[/tex]. Последното е еквивалентно на [tex]\frac{\sqrt{m}(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})}{\sqrt{m+1}}>0[/tex], което е винаги вярно.
Равенства при n=1.

Saposto_MM · Пуснато на: Sat Jun 21, 2008 12:54 pm Заглавие:

Една по-точна оценка: [tex]\sqrt{2n}<\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}[/tex], като лявата част на неравенството е вярна за n≥5. Докажете.

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Jun 21, 2008 2:33 pm Заглавие:

Можем да ползваме, че [tex]\sqrt{2n}-\sqrt{2(n-1)}<\frac{1}{\sqrt{n} }<2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1} [/tex]
тези неравенства се извеждат лесно. прилагаме за всички n събираеми, събираме почленно и получаваме исканото..