уравнение

[tih_omir]

Как се решава това уравнение?

[tex]y''+y'=\frac{1}{sin^2 x} [/tex]

[Реклама]

[Infernum]

Това уравнение е линейно нехомогенно от втори ред.
Тъй като дясната част не е квазиполином, а трансцедентна функция, то метода на неопределените коефициенти е неприложим.
Затова се пристъпва към метода на Лагранж.

Определяш си характеристичното уравнение на съответното хомогенно уравнение
(*) y''+y'=0
то е:
x²+x=0
В зависимост от вида и кратността на корените на това уравнение, се определя една фундаментална система от частни решения на уравнението (*).
В случая имаш
x₁=0
x₂=-1
Тогава съвкупността от функции
{1, e^-x} ти представлява една фундаментална система от частни решения на (*).

Тогава съгласно метода на Лагранж, можеш да предположиш, че общото решение на уравнението:
y''+y'=1/sin²x има вида:
y(x)=C₁(x)+C₂(x)e^-x
където C₁(x) и C₂(x) са неизвестни функции, подлежащи на определяне.
Образуваш си системата на Лагранж. Нейната матрица има вида:
|1 e^-x|
|0 -e^-x|
Вектор стълба е:
| 0 |
|1/sin²x|
Тогава
C'₁(x)=-1/(e^2xsin²x)
C'₂(x)=-1/(e^xsin²x)
Като интегрираш получаваш:
C₁(x)=е^-2x(cotg x+2ln|sin x|)+4INT(е^-2tln|sin t|, t=0..x)+А;
C₂(x)=е^-x(cotg x+ln|sin x|)+2INT(е^-tln|sin t|, t=0..x)+B;
A, B=const
Тогава за решението на твоето уравнение получаваш:
y(x)=C₁(x)+C₂(x)e^-x
където си заместил така намерените C₁(x) и C₂(x).

Мисля обаче, че има грешка в условието.
Но може и да греша.