Неравенство с произведение

Saposto_MM

Нека [tex]P=\frac{2.4...2n}{1.3...(2n-1)}[/tex], където n е естествено число. Докажете, че [tex]\sqrt{2n}<P\le 2\sqrt{n}[/tex].

Реклама

martosss · Пуснато на: Fri Jun 20, 2008 5:26 pm Заглавие:

хм... [tex]n[/tex] - естествено - при [tex]n=1[/tex] имаме [tex]P=2[/tex], [tex]\sqrt{2}<2[/tex] е изпълнено, но [tex]2\cancel <2[/tex], Нещо куца това с малкото пръстче на левия крак Laughing

Saposto_MM · Пуснато на: Fri Jun 20, 2008 5:33 pm Заглавие:

Хайде стига тривиалности. Работи по задачата. Аз ще го оправя "левия пръст".

martosss

martosss · Пуснато на: Fri Jun 20, 2008 8:51 pm Заглавие:

Ето сега да опитаме и другата част:
Нека да допуснем че за [tex]k[/tex] е изпълнено [tex]\red \sqrt{2k}<\frac{2*4*\cdots *2k}{1*3*\cdots *(2k-1)}[/tex] Тогава

[tex]\red \sqrt{2(k+1)}<\frac{2*4*\cdots *2k}{1*3*\cdots *(2k-1)}*\frac{\sqrt{2(k+1)}}{\sqrt{2k}}<\frac{2*4*\cdots *2k}{1*3*\cdots *(2k-1)}*\frac{2(k+1)}{2k+1}[/tex] с което задачата е решена Smile

Това че [tex]\red \frac{\sqrt{2(k+1)}}{\sqrt{2k}}<\frac{2(k+1)}{2k+1}[/tex] може отделно да го разпишете :

[tex]\red \frac{2k+2}{2k}<?\frac{4k^2+8k+4}{4k^2+4k+1}[/tex]

[tex]\red \cancel 1+\frac{1}{k}<?\cancel 1+\frac{4k+3}{(2k+1)^2}[/tex]

[tex]\red 4k^2+4k+1<?4k^2+3k[/tex]

грешно е Embarassed

martosss · Пуснато на: Fri Jun 20, 2008 10:41 pm Заглавие:

Някой да помогне Confused

Saposto_MM · Пуснато на: Sat Jun 21, 2008 9:21 am Заглавие:

Понеже [tex]\frac{n}{n-1}>\frac{n+1}{n}[/tex], получаваме
[tex]\frac{2}{1}>\frac{3}{2}[/tex],
[tex]\frac{4}{3}>\frac{5}{4}[/tex],

................

[tex]\frac{2n}{2n-1}>\frac{2n+1}{2n}[/tex]
След като умножим почленно тези неравенства получаваме [tex]\frac{2.4...2n}{1.3...(2n-1)}>\frac{3.5...(2n+1)}{2.4...2n}[/tex] и нека [tex]Q=\frac{3.5...(2n+1)}{2.4...2n}[/tex]. Тогава P>Q. От друга страна P.Q=2n+1, следователно [tex]P>\sqrt{2n+1}[/tex].