Задача за лице и периметър

[Volen Siderov]

Интересно съществува ли доказателство на следната задача:
от всички възможни фигури с определено лице S да се намери тази която е с наи-малък периметър.

Получих някакво решение за правилни фигури, но ми е интересно вие какви идеи ще дадете.И дали има начин да се докаже за всяка фигура.Иначе решението интуитивно е ясно.

[Реклама]

[Пафнутий]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=5204 - май това искаш, ако съм те разбрал правилно

[martosss]

[Volen Siderov]

Никой ли не се интересува от тази задача.Аз си спомням за един куп задачи от сорта да се намери правоъгълника,триъгълника и т.н. са най-голямо или малко лице или периметър и т. н.
Ето тук може тези задачи да се обобщят за произволна фигура, и да се види кво ще стане.
Днес ми се струва че намерих решение и при първа възм. ще го напиша.

[ObsCure]

[martosss]

е ми решението е отзад напред - нека имаме кръг с лице S, квадрат с лице S, триъгълник с лице S, ... коя да е тази фигура с най-малко лице... и сега трябва да сметнем на всяко периметъра, като сме го изразили чрез S
Примерно окръжността има радиус[tex]\sqrt{\frac{S}{\pi}}[/tex] и обиколка [tex]P=2\pi\sqrt{\frac{S}{\pi}}=\sqrt{4S\pi[/tex], квадратът има страна [tex]\sqrt{S}[/tex] и периметър [tex]P=4\sqrt{S}=\sqrt{16S}[/tex], триъгълникът с херонова формула предполагам... и аз не знам

[ObsCure]

Ето един пример за такава задача:От всички правоъгълници с диагонал d,намерете този,който има най-голямо лице.

Ако правоъгълникът ни е ABCD,а страните AB и BC са съответно x и y,то за лицето ще получим

[tex]S=xy=x\sqrt{d^{2}-x^{2}}[/tex]

Принципно,за решаването на този тип задачи има много начини.Но един от най-често използваните е посредством неравенство на Коши.Съгласно това неравенство,лицето ще е най-голямо,когато

[tex]x=\sqrt{d^{2}-x^{2}} => x^{2}=d^{2}-x^{2} => 2x^{2}=d^{2}[/tex]

Оттук следва,че

[tex]x=\frac{d}{\sqrt{2}}[/tex]

След заместване в изведената за y формула ще установим,че

x=y

т.е. лицето ще е най-голямо,когато имаме квадрат.Това са т.нар. качественни оценки,при който се преценява според получените резултати каква е фигурата с най-малко/голямо лице,какви са нейните страни/ъгли и т.н.Ако искате,утре ще напиша повече по темата.

[ObsCure]

Доказателство за квадрат:Сега ще докажем,че от всички правоъгълници с дадено лице S,най-малък периметър има квадратът.Нека страните на нашият правоъгълник са отново както следва

[tex]AB=x[/tex]

[tex]BC=y[/tex]

Лицето на правоъгълникът е

[tex]S=xy => y=\frac{S}{x}[/tex]

Знаем,че периметърът на правоъгълника е

[tex]P=2x+2y => P=2x+\frac{2S}{x}[/tex]

Съгласно неравенството на Коши,най-малък периметър ще имаме когато

[tex]2x=\frac{2S}{x} => 2x^{2}=2S /:2 => S=x^{2}[/tex]

т.е.,когато правоъгълникът е квадрат,с което извършихме доказателството.

[Baronov]

[estoyanovvd]

Това е така известната "изопериметрична задача". Може да прочетете още за нея в Уикипедия на английски.

[ferry2]

Има и на български http://bg.wikipedia.org/wiki/Изопериметрична_задача !

[estoyanovvd]

[Volen Siderov]

погледнах в уикпедията ама там не виждам някакво доказателство.Пак и оная сложна формула идея си нямам как са я получили.Въпреки че много ми хареса там идеята че е обсновано когато търсиш макс. лице в случая на някаква вдлъбната фигура да вземеш огледалния образ на вдлъбнатия участък като при това се запазва периметъра.Струва ми се че ако извършиш тази операция безкр. много пъти при произволна неръбеста фигура то в крайна сметка ще я загладиш до окъжност.Интерсно.От една страна окръжността е едиствената фигура която не позволява да я "надуваш" пове4е.Зна4и то тя трябва да е с макс. лице.Въпроса е как да се изрази матем. тая операция?.И как да се обобщи в/у ръбести фигури напр.квадрат.Мисля че трябва да се види как се мени радиус вектора.
Иначе не е трудно да се покаже 4е от произв. триъгълник равностр. е с макс лице.А от произв. правилен н ъгълник макс е при безкр. н тоест окръжност.