Най-голяма и най-малка функционална стойност

[Spider Iovkov]

Да се намерят най-голямата и най-малката стойност на функцията
[tex]f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+2}[/tex].

Задачата е давана на републикански кръг на математическата олимпиада в България през 1959 г. Но само на мен ли ми се струва, или е наистина лесна?

[Реклама]

[nikolavp]

Полагаме [tex]\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+2}=a[/tex]. Сега знаменателя е отрицателна дискриминанта и 1>0 => той е по - голям от 0 за всяко x. => горното е еквивалентно на:
[tex]x^2+x+1=ax^2+2ax+2a \\ (a-1)x^2+(2a-1)x+2a-1=0[/tex]
Сега за да има това уравнение смисъл трябва
[tex]D\ge 0\\ (2a-1)^2-4(2a-1)(a-1) \ge 0 \\ 4a^2-4a+1-4(2a^2-3a+1) \ge 0 \\ 4a^2-4a+1-8a^2+12a-4 \ge 0 \\ -4a^2+8a-3 \ge 0 \\ 4a^2-8a+3 \le 0 \\ a_{1,2}=\frac{4\pm2}{4} \\ =>a \in [\frac{1}{2};{\frac{3}{2}] [/tex]
[tex]=> f(x) \in [\frac{1}{2};{\frac{3}{2}][/tex]

[Spider Iovkov]

Аз пък го реших чрез производна, .

[tex]y'=(\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+2})'=\frac{(x^2+x+1)'(x^2+2x+2)-(x^2+x+1)(x^2+2x+2)'}{(x^2+2x+2)^2};[/tex]

[tex](x^2+x+1)'=(x^2)'+x'+1'=(x^2)'+1=2.x.x'+1=2.x+1 \Rightarrow (x^2+x+1)'=2x+1 (1)[/tex]

[tex](x^2+2x+2)'=(x^2)'+(2x)'+2=2.x.x'+2'x+2.x'=2.x+0+2 \Rightarrow (x^2+2x+2)'=2x+2 (2)[/tex]

От [tex](1)[/tex] и [tex](2) \Rightarrow (\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+2})'=\frac{(2x+1)(x^2+2x+2)-(x^2+x+1)(2x+2)}{(x^2+2x+2)^2}=\frac{x^2+2x}{(x^2+2x+2)^2}[/tex]

Ясно е, че функцията ще има екстремум за тези стойности на аргумента, за които производната евентуално е равна на [tex]0[/tex].
[tex]y'=0 \Leftrightarrow x^2+2x=0, y'=0 \Leftrightarrow x(x+2)=0, y'=0 \Leftrightarrow x=0, x=-2[/tex].
Ако за тези стойности на аргумента втората производна е положителна (отрицателна), то функцията добива минимум (максимум).
Вижда се, че при [tex]x=0[/tex] знакът на [tex]y''[/tex] е еднакъв със знака на [tex]2x+2>0 \Rightarrow y''>0 \Rightarrow y_{min}=\frac{1}{2}[/tex].
[tex]x=-2 \Rightarrow y''<0 \Rightarrow y_{max}=\frac{3}{2}[/tex].

[garion]

[nikolavp]

Еми ако знаменателя не е положителен само така става, но според мен е повечко писане и ако мога го избягвам

[ганка симеонова]

решението на nikolavp е най- добро...

[Пафнутий]

[ганка симеонова]

май няма да помогне...

[soldier_vl]

Емо ето ти подобрен варянт на твойто решение, тъй като виждам, че не са ти много лесни производните:
[tex]\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+2 }=\frac{(x+1)^2-x}{(x+1)^2+1 } [/tex]
Полагаме х+1=а => х=а-1 и получаваме
[tex]f(a)=\frac{a^2-a+1}{a^2+1 }=1-\frac{a}{a^2+1 } [/tex]
Сега от тук лесно се намира производната на [tex]\frac{a}{ a^2+1} [/tex]