Изпъкнал n-ъгълник

[Spider Iovkov]

Да се докаже, че ако в изпъкнал [tex]n[/tex]-ъгълник всичките ъгли са равни и последователните страни удовлетворяват условията
[tex]a_{1}\ge a_{2}\ge a_{3}\ge... \ge a_{n}[/tex], то [tex]a_{1}=a_{2}=a_{3}=...=a_{n}[/tex].

[Реклама]

[martosss]

[Baronov]

[xyz]

Колкото и странно да звучи на някой, то тази задача е добре известна от математическия анализ. По-точно идеята за доказателството й.
Задачата за която говоря е, че сумата:
[tex]\sum_{i=1}^\infty \zeta^i a_i[/tex]
е сходяща, ако [tex]\zeta[/tex] е комплексно число с норма 1, но не 1, а a_n е монотонно намаляваща редица от положителни числа, клоняща към 0.

Да вземем произволна страна. Ако всички следващи страни са равни на нея, то (тъй като ъглите са равни), то върховете им ще лежат на някаква окръжност. Да опишем тази окръжност за една страна и за следваща страна, която е строго по-малка от нея. Очевидно е (вижте чертежа) че имаме хомотетия, т.е. ако страните по-нататък намаляват, то няма да излязат от малката пунктирана окръжност. Според условието, обаче, трябва да отидат в началото (която е точка от голямата окръжност). Така нямаме намаляване.

При споменатата по-горе задача просто се вижда, че имаме система от влагащи се окръжности (дължините на страните са a_n, а zeta определя ъгъла на завъртане), като радиусът на най-малката клони към 0, т.е. наистина ще имаме граница на споменатат по-горе редица...
Задача за границата допуска и аналитично решение, което аз съм забравил отдавна (а това което показах, освен че сам си го измислих, то по-късно го видях и в един руски сборник (отново съм забравил кой беше))...