Още една задача

[Nona]

Помогнете ми с тази задача:

В триъгълник ABC медианата AM, ъглополовящата BL и височината CH се пресичат в една точка Т. Дадени са BC=2 и ъгъл АBC=β.
a) Да се изрази AB чрез β.
б) Да се докаже, че HL и BC са успоредни и да се определи HL.

[Реклама]

[Titu_Andrescu]

Нека AM, BL и CH се пресичат в точка S. Разглеждаме триъгълника BSC по синусова теорема: BS/sin<BCS = BC/sin<BSC; BS/sin(90-β) = 2/sin(90+(β/2)), BS/cosβ=2sin(β/2), следователно BS=2cosβ/sin(β/2)
От правоъгълния триъгълник BSH имаме, че HB=SB.cos(β/2)=2cosβ.cotg(β/2).
От теорема на Чева за триъгълника ABC и правите AM, BL и CH имаме, че
(AH/HB).(BM/MC).(CL/LA)=1, но от свойството на ъглополовящата BL имаме, че CL/LA=CB/AB=2/AB, а тъй като М е среда на BC, то BM/MC=1.
Заместваме в теоремата и получаваме, че AH/HB=AB/2, но ние вече имаме, че HB=2cosβ.cotg(β/2) и следователно:
AH=AB.cosβ.cotg(β/2) (1), но AH=AB-BH=AB-2cosβ.cotg(β/2). Тогава замествайки в (1) получаваме: AB-2cosβ.cotg(β/2)=AB.cosβ.cotg(β/2).
Тоест AB=(2cosβ.cotg(β/2))/(1-cosβ.cotg(β/2)).

За успоредността се използва теорема на Талес за вече определения триъгълник ABC: AL/AC=AH/AB. Но нямям време да го напиша, трябва да ходя на училище сега.

[Nona]

Благодаря за решението! Съвсем бях забравила за теоремата на Чева, но сега си я припомних