Стереометрична задача от УАСГ

[SwollenMembers]

Ръбът на правилен тетраедър ABCD е b , през върха А успоредно на ръба BC е построена равнината λ , която сключва с основата ABC ъгъл θ , като cos θ = [tex]\frac{\sqrt{6} }{3 } [/tex]

А) Намерете sin на двустенния ъгъл при ръб на тетраедъра
Б) Пресметнете лицето на сечението на равнината λ с тетраедъра
В) Намерете ъгъла между правата AB и равнината λ

[Реклама]

[Nona]

С S и V означавам съответно лицето на стена на тетраедъра и обема му, а с h - разстоянието от В до λ.

a)
[tex]\cos\alpha=\frac{OP}{DP}=\frac13\Rightarrow \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]

б)
[tex]\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \sin\angle ATP=\sin(\theta+\alpha)=\sin\theta\cos\alpha+\sin\alpha\cos\theta=\frac{5\sqrt{3}}{9} \\ \Delta APT: \ \frac{AP}{\sin(\theta+\alpha)}=\frac{AT}{\sin\alpha}\Rightarrow AT=\frac{3b\sqrt{2}}{5} \\ TQ=AT.\sin{\theta}=\frac{b\sqrt{6}}{5} \\ DO=DP.\sin\alpha=\frac{b\sqrt{6}}{3}\\ \frac{TP}{DP}=\frac{TQ}{DO}=\frac{3}{5}\Rightarrow DT=\frac{2}{5}DP \\ \frac{MN}{BC}=\frac{DT}{DP}\Rightarrow MN=\frac{2}{5}b \\ S_{AMN}=\frac{MN.AT}{2}=\frac{3b^2\sqrt{2}}{25}[/tex]

в)
[tex]\frac{DN}{DC}=\frac{MN}{BC}=\frac25\Rightarrow S_{MBN}=\frac{2}{5}S \\ S_{MBN}=S_{DNB}-S_{MND}=\frac{2}{5}S-\frac{4}{25}S=\frac{6}{25}S \\ \Rightarrow V_{ABMN}=\frac{6}{25}V=\frac{b^3\sqrt{2}}{50}=\frac{h.S_{AMN}}{3}\Rightarrow h=\frac{b}{2} \\ \sin\varphi=\frac{h}{AB}=\frac{1}{2} \Rightarrow\angle(AB,\lambda )=30^\circ[/tex]

[SwollenMembers]

Леле , страшна си ! Мерси много