Задача от УАСГ (2004)

[SwollenMembers]

Дадена е функцията:

[tex] f_{(x) } = log_{\sqrt{2-x} }[/tex] |x²+4a| ; (това в модула е аргумент на log-а ,а не степен на корена) ; Където "а" е реален параметър.

А) Решете уравнението [tex] f_{(x) } = 4 [/tex] , при [tex] a=-\frac{3}{4 } [/tex]

Б) Намерете за кои стойности на х от неравенствата 0<a<b следва:

[tex] log_{\sqrt{2-x} }[/tex] (x²+4a) < [tex] log_{\sqrt{2-x} }[/tex] (x²+4b)

В) Нека [tex] G_{(x) } = (2-x)^{\frac{f(x) }{2 } } [/tex] . Пресметнете границата

[tex] lim_{x->0 } \frac{G(x)-4|a|}{x^{2 } } [/tex]

На А) получавам x₁=1.75 , x₂ = [tex] \frac{2+\sqrt{2} }{2 } [/tex] . Б) и В) все още не мога да ги подкарам , много са особени

[Реклама]

[martosss]

Не трябва ли като [tex]x_2[/tex] да вземеш и [tex]\frac{2-\sqrt{2}}{2}[/tex]

[SwollenMembers]

[Nona]

[martosss]

[SwollenMembers]

[Tony_89]

На а)

ДС: [tex]x \in (-\infty ; 1) U (1 ; 2)[/tex]

Получава се:

[tex]|x^{2} - 3| = (2 - x)^{2}[/tex]

I случай: [tex]x \in (-\infty ; -\sqrt{3}] U [\sqrt{3} ; 2)[/tex]

[tex]x = \frac{7}{4}[/tex] е решение.

II случай: [tex]x \in [-\sqrt{3} ; 1) U (1 ; \sqrt{3}] [/tex]

[tex]x = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}[/tex]

И двете решения влизат в ДС.

в)

[tex]\frac{1}{2}.f(x) = \frac{1}{2}.log_{\sqrt{2 - x}}|x^{2} + 4a| = log_{(\sqrt{2 - x})^{2}}|x^{2} + 4a| = log_{(2 - x)}|x^{2} + 4a|[/tex]

[tex]G_{(x)} = (2 - x)^{log_{(2 - x)}|x^{2} + 4a|} = |x^{2} + 4a|[/tex]

[tex]lim_{x->0 }\frac{|x^{2} + 4a| - 4|a|}{x^{2}} = lim_{x->0 }\frac{(|x^{2} + 4a| - 4|a|)(|x^{2} + 4a| + 4|a|)}{x^{2}.(|x^{2} + 4a| + 4|a|)} =[/tex]

[tex]=lim_{x->0 }\frac{x^{4} + 8ax^{2} + 16a^{2} - 16a^{2}}{x^{2}.(|x^{2} + 4a| + 4|a|)} = lim_{x->0 }\frac{x^{2}(x^{2} + 8a)}{x^{2}.(|x^{2} + 4a| + 4|a|)} =[/tex]

[tex]= lim_{x->0 }\frac{x^{2} + 8a}{|x^{2} + 4a| + 4|a|} = \frac{8a}{8|a|} = \frac{a}{|a|} =>[/tex]

=> При a > 0 границата е 1, а при a < 0 е -1.

[SwollenMembers]