задача от матура

[danchuuu]

в ▲АВС е вписана окражност, която се допира до страната ВС в точка D, ако AD=ВD , ВС=9 и[tex] \cos \angle ABC=2/3,[/tex] да се намери дължината на страната АВ.

[Реклама]

[ferry2]

Означаваме [tex]BD=DA=x[/tex].[tex]AB=c[/tex][tex]=>AM=MB=\frac{c}{2}[/tex].От правоъгълен ▲[tex]DMB=>\frac{\frac{c}{2}}{x}=cos\angle ABC[/tex]
[tex]\frac{\frac{c}{2}}{x}=\frac{2}{3}[/tex] => [tex]\frac{c}{2x}=\frac{2}{3}=>c=\frac{4x}{3}[/tex]
[tex]BN=BD[/tex](от св-во на допирателната)[tex]=>BN=x(=BD)[/tex]
[tex]AN=AB-BN=\frac{4x}{3}-x=\frac{x}{3}[/tex]
[tex]CB=9,BD=x=>CD=CK=9-x[/tex]
Прилагаме [tex]cos[/tex]теорема за▲ [tex]ABC:[/tex]
[tex]AC^2=AB^2+BC^2-2.AB.BC.cos\angle ABC[/tex]
[tex](9-x+\frac{x}{3})^2=(\frac{4x}{3})^2+9^2-2.\frac{4x}{\cancel3}.\cancel9.\frac{2}{\cancel3}=>(9-\frac{2x}{3})^2=\frac{16x^2}{9}+81-16x[/tex]
[tex]\cancel81-12x+\frac{4x^2}{9}=\frac{16x^2}{9}+\cancel81-16x[/tex]
[tex]\frac{12x^2}{9}-4x=0/.9[/tex]
[tex]12x^2-36x=0/:12[/tex]
[tex]x^2-3x=0<=>x(x-3)=0[/tex],където само [tex]x=3[/tex] може да бъде решение.И оттук заместваме:[tex]AB=c=\frac{4x}{3}=\frac{4.\cancel3}{\cancel3}[/tex]
отговор:[tex]AB=4cm[/tex]