неравенство****

[ганка симеонова]

Нека х и у са реални числа, такива че
[tex]x^2+y^2-4x+10y+20=0 [/tex]
Да се докаже, че [tex]y+7-3\sqrt{2}\le x\le y+7+3\sqrt{2} [/tex]

[Реклама]

[martosss]

[Tony_89]

[tex]y + 7 - 3\sqrt{2} \le x \le y + 7 + 3\sqrt{2}[/tex]

[tex]7 - 3\sqrt{2} \le x - y \le 7 + 3\sqrt{2}[/tex]

[tex]7 - 3\sqrt{2}[/tex] и [tex]7 + 3\sqrt{2}[/tex]са решения на

уравнението [tex]x^{2} - 14x + 31 = 0[/tex]

Нека [tex]x^{2} - 14x + 31[/tex] е f(x) =>

[tex]=> 1.f(x - y) ?\le 0[/tex]

[tex](x- y)^{2} - 14(x - y) + 31 ?\le 0[/tex]

[tex]x^{2} - 2xy + y^{2} - 14x + 14y + 31 ?\le 0[/tex]

[tex]x^{2} + y^{2} = 4x - 10y - 20[/tex]

[tex]4x - 10y - 20 - 2xy - 14x + 14y + 31 ?\le 0[/tex]

[tex]-10x + 4y + 11 - 2xy ?\le 0[/tex]

[tex]-4x - 6x + 10y - 6y + 11 - 2xy ?\le 0[/tex]

[tex]-4x + 10y - 6x - 6y + 11 - 2xy ?\le 0[/tex]

[tex]-x^{2} - y^{2} - 20 - 6x - 6y + 11 - 2xy ?\le 0[/tex]

[tex](x + y)^{2} + 6.(x + y) + 9 ?\ge 0[/tex]

[tex](x + y + 3)^{2} ?\ge 0[/tex], което е изпълнено за всяко x и y.

Много си бърз бе човек

[martosss]

[ганка симеонова]

я положете [tex]x-y=t [/tex]

[martosss]

[ганка симеонова]

ок, двете решения са верни
полагайки, получаваме: [tex]2x^2-2x(t-3)+t^2-10t+20=0 [/tex]
т.к. уравнението има реални решения, => [tex]D\ge 0[/tex]
решавайки неравенството, получаваме исканото....

[martosss]

хм... получих [tex]y=-5\mp \sqrt{-x^2-x+5}[/tex]
И сега се очаква да го заместя и да реша двете неравенства за х? ДА БЕ

[martosss]

[Tony_89]

И това е доста интересна идея, направо 3 различни решения се получиха на тази задача

Полага се x - y = t

[tex]x^{2} + y^{2} - 4x + 10y + 20 = 0[/tex]

[tex]t^{2} + 2xy - 4x + 10y + 20 = 0[/tex]

[tex]t^{2} -2x^{2} + 2xy + 2x^{2} - 10x + 10y + 6x + 20 = 0[/tex]

[tex]t^{2} - 2xt + 2x^{2} - 10t + 6x + 20 = 0[/tex]

[tex]2x^{2} - 2(t - 3)x + t^{2} - 10t + 20 = 0[/tex]

Очевидно съществуват такива x и y, удовлетворяващи началното уравнение =>

=> [tex]2x^{2} - 2(t - 3)x + t^{2} - 10t + 20 = 0[/tex] трябва да има решения за x =>

[tex]D \ge 0[/tex]

Получава се онази част от моето решение : [tex]t^{2} - 14t + 31 \le 0[/tex]

[zhivo_zad]

4 - идея

[ObsCure]

Много хубаво решение,zhivo_zad.

[Tony_89]

Браво, zhivo_zad

Голяма работа сме в тоя форум мале, мале, 4 решения