задачи на Коши

[Михаил]

[tex]xy'=xe^{\frac{2y}{x}} +y [/tex]
[tex] y(2)=0[/tex]

[tex]xy'+y=y^2ln^2x[/tex]
[tex]y(1)=1[/tex]

[tex]xy'-2y=x^2 \sqrt[3]{y}[/tex]
[tex]y(1)=3[/tex]

[Реклама]

[Mister ABC]

Уравнението
(1)[tex]y'=e^{\frac{2y}{x }}+\frac{y}{ x} [/tex] е хомогенно т.е. с помощта на субституцията
(2)[tex]y=xz[/tex] се свежда до [tex]xz'=e^{2z}[/tex] или
(3) [tex]e^{-2z}dz=\frac{dx}{x } [/tex], което е с разделени променливи. След интегрирането на последното уравнение получаваме [tex]-\frac{1}{ 2} e^{-2z}=lnC^*x[/tex] или [tex]e^{-2z}=ln(C^*x)^{-2}[/tex], което след логаритмуване дава [tex]-2z=ln(ln\frac{C}{ x^2}) [/tex] където [tex]C=(C^*)^{-2}[/tex] т.е [tex]z=-\frac{1}{ 2}ln(ln\frac{C}{ x^2} ) [/tex], което съгласно (2) ни дава общото решение на (1), което е
(4)[tex]y=-\frac{1}{ 2}xln(ln\frac{C}{ x^2}) [/tex]. За да решим задачата на Коши, използувайки началното условие [tex]y(2)=0[/tex] заместваме в (4) у с нула и х с две. Това ни дава едно уравнение спрямо С т.е. [tex]0=-ln(ln\frac{C}{4 } ) [/tex] или [tex]C=4e[/tex]. Така получаваме, че ЕДИНСТВЕНАТА функия, която удовлетворява (1) и при х=2 приема стойност нула е [tex]y=-\frac{1}{2 }xln(ln\frac{4e}{ x^2} ) [/tex]

[Общият вид на Бернулиевото уравнение е
[tex]y'+a(x)y=b(x)y^n[/tex]. То се свежда към линейно чрез разделяне на двете му страни на [tex]y^n[/tex], в резултат на което се получава [tex]y^{-n}y'+a(x)y^{1-n}=b(x)[/tex] и в последното уравнение се прави субституцията [tex]y^{1-n}=z[/tex]]

Следващото уравнение
(5)[tex]xy'+y=y^2ln^2x[/tex] след като се разделят двете му страни на х за да се получи коефициент единица пред у' става
(6)[tex]y'+\frac{1}{x }y=y^2\frac{ln^2x}{x } [/tex]. Последното уравнeние е Бернулиево и за да се сведе към линейно се разделят двете му страни на [tex]y^2[/tex] , което дава
(7)[tex]\frac{y'}{y^2 } +\frac{1}{ x} \frac{1}{ y} =\frac{ln^2x}{ x} [/tex]. В последното уравнение правим субституцията
(8)[tex]\frac{1}{y }=z [/tex] след диференцирането на която [tex]-\frac{y'}{y^2 }=z' -->\frac{y'}{y^2 } =-z' [/tex]. След заместване в (7) получаваме линейното уравнение
(9)[tex]z'-\frac{1}{ x}z=-\frac{ln^2x}{ x} [/tex]
[ общото решение на линейното уравнение
(*) [tex]y'+a(x)y=b(x)[/tex] е
(**) [tex]y(x)=e^{-\int_{}^{ } a(x)dx}(C+\int_{}^{ } b(x)e^{\int_{}^{ } a(x)dx}dx[/tex]].
Прилагайки (**) за (9) ( единствената разлика е, че вместо у имаме z) намираме
[tex]z=e^{\int_{}^{ } \frac{dx}{x }} [C-\int_{}^{ } \frac{ln^2x}{ x} e^{-\int_{}^{ } \frac{dx}{x }} dx]=e^{lnx}[C-\int_{}^{ } \frac{ln^2x}{ x} e^{-lnx}dx]=x[C-\int_{}^{ } \frac{}{ } \frac{ln^2x}{x^2 } dx][/tex]. Интегралът в средните скоби се решава с две интегрирания по части по следния начин:
[tex]\int_{}^{ } \frac{ln^2x}{x^2 } dx=-\int_{}^{ } ln^2xd\frac{1}{x }=-[\frac{ln^2x}{x } -2\int_{}^{ } \frac{lnx}{x^2 }dx] = [/tex](т.е. получихме аналогичен интеграл, но степента на логаритъма е с единица по-ниска)=[tex]=-[\frac{ln^2x}{x } +2\int_{}^{ }lnxd\frac{1}{x }]= -[\frac{ln^2x}{ x}+2\frac{lnx}{x } -2\int_{}^{ } \frac{dx}{ x^2}]=-[\frac{ln^2x}{x }+2\frac{lnx}{x }+2\frac{1}{ x} ] =-\frac{1}{ x} (ln^2x+2lnx+2) [/tex]. Тогава общото решение на линейното уравнение (9) е [tex]z=x(C+\frac{1}{ x}(ln^2x+2lnx+2)) [/tex] , а общото решение на Бернулиевото уравнение (6) е
(10)[tex]\frac{1}{ y}=x(C+ \frac{1}{ x}(ln^2x+2lnx+2)) [/tex]. За да решим задачата на Коши заместваме стойностите от началното условие у(1)=1 в (10) и полоучаваме 1=С+2 т.е. С=-1 или [tex]\frac{1}{ y}=x(\frac{ln^2x+2lnx+2}{x } -1)= ln^2x+2lnx+2-x[/tex]
ЕДИНСТВЕНАТА функция, която удовлетворява уравнението (5) и приема стойност 1 при х=1 е [tex]y=\frac{1}{ln^2x+2lnx+2-x } [/tex]

Последното уравнение
(11) [tex]xy'-2y=x^2\sqrt[3]{y} [/tex] след разделяне на двете му страни с х отново става Бернулиево
(12) [tex]y'-\frac{2}{ x}y=xy^{\frac{1}{3 } [/tex]. Прилагайки същата процедура делим двете страни на [tex]y^{\frac{1}{ 3} [/tex], в резултат на което получаваме
(13)[tex]y^{-\frac{1}{3 }} y'-\frac{2}{ x}y^{\frac{2}{ 3}}=x [/tex]. В последното уравнение правим субституцията [tex]y^{\frac{2}{ 3}}=z [/tex], от където след дифернциране [tex]\frac{2}{ 3}y^{-\frac{1}{3 }}y'=z' [/tex] или [tex]y^{-\frac{1}{3 }}y'=\frac{3}{2 } z' [/tex]. Заместваме в (13) и получаваме [tex]\frac{3}{ 2}z'-\frac{2}{x }z=x [/tex] или
(14) [tex]z'-\frac{4}{3x }z=\frac{2x}{3 } [/tex], което е линейно. За него прилагаме (**) и получаваме[tex] z=e^{\frac{4}{3 }\int_{}^{ } \frac{dx}{x } }[C+\frac{2}{ 3} \int_{}^{ } xe^{-\frac{4}{ 3} \int_{}^{ } \frac{dx}{ x}}]=x^{\frac{4}{ 3}}[C+\frac{2}{ 3} \int_{}^{ } xx^{-\frac{4}{ 3} }dx]=x^{\frac{4}{ 3}}(C+\frac{2}{ 3}\int_{}^{ } x^{-\frac{1}{3 }}dx)=x^{\frac{4}{ 3}}(C+x^{\frac{2}{ 3} }) [/tex]. Тогава [tex]y^{\frac{2}{3 }}=x^{\frac{4}{3 }}(C+x^{\frac{2}{ 3}}) [/tex]. Повдигаме двте страни на последното равенство на степен 3/2 и получаваме явен вид на общото решение на (11)
(15)[tex]y=x^2(C+x^{\frac{2}{ 3} })^{\frac{3}{ 2}} [/tex]. Замествайки в последния израз у с три и х с едно получаваме едно уравнение за С, което е [tex]3=1(C+1)^{\frac{3}{2 } }[/tex], от където [tex]C=3^{\frac{2}{3 }}-1 [/tex]. ЕДИНСТВЕНАТА функция, която удовлетворява (11) и приема стойност три при х=1 е функцията
[tex]y=x^2(3^{\frac{2}{ 3}}+x^{\frac{2}{3 }}-1)^{\frac{3}{2 } } [/tex]