Вписан правоъгълник

[devonish]

В триъгълник ABC със страни AC=10, BC=17, AB=21 e вписан правоъгълник с периметър 24 така, че едната му страна лежи на АB. Намерете страните на правоъгълника.
Такива задачи съм решавал, ама сега ми се губи нещо.

[Реклама]

[martosss]

Така... намираме последователно:

Aко правоъгълникът ни е КМРТ(К и М са върху АВ, като са подредени в реда А, К, М, В, а пък Р и Т са съответно върху ВС и АС)

[tex]cos\alp =\frac{3}{5}\\sin\alp =\frac{4}{5}\\tg\alp =\frac{KT}{AK}=\frac{3}{4}\\AK=\frac{4}{3}KT\\cos\be =\frac{15}{17}\\sin\be =\frac{8}{17}\\tg\be =\frac{MP}{MB}=\frac{8}{15}\\BM=\frac{15}{8}MP\\h_a=\frac{2S}{a}=8[/tex]

Сега означаваме КМ=х, КТ=МР=у да са страните на правоъгълника и получаваме у-е за тях:
[tex]AB=AK+KM+MB=\frac{4}{3}y+x+\frac{15}{8}y=21[/tex]
[tex]\frac{77}{24}y+x=21[/tex]
[tex]x=21-\frac{77}{24}y[/tex]
Сега изразяваме [tex]AT=\frac{5}{3}y,\: BP=\frac{17}{8}y[/tex] и намираме страните на триъгълник ТРС
Прилагаме кос. теорема за ТРС и сме готови, само чакай малко да видя колко ще излезне кос. теорема

[martosss]

Офф много сметки стават Отказвам се, сметни си го сам, не е приятно Ако искаш помощ или не разбираш нещо кажи

[devonish]

Имаш предвид косинусова теорема ли? Става много тромаво. Пробвах с x+y=12 и тази връзка, до която ти си стигнал, правя система ама не ми се получава отговора...

[martosss]

Е ми най-вероятно да имам някъде грешка, но наистина периметъра трябва да използваш

[devonish]

Мерси много

[BeckhamStZ]

Днеска я решавах таз задача и ето моето решение

означаваме страните a и b на правоъгълника като a+b=12 => a=12-b
след това построявам височината и намирам частите на които дели хипотенузата на 6 и на 15 и самата височина 8 след това 2та подобни триъгълника AFD подобен на ACH . бележим AF = x и x/6=b/8 => x=3b/4. същото правя за триъгълници BGE и BHC като BG = z => z/15=b/8 => z=15b/8 и сега AB = 21 и AB = x + a + z
3b/4 + 12-b + 15b/8 = 21
b=72/13
и a = 12-b = 84/13.