Задачка свързана със косинусова теорема

[complex]

В окръжност с радиус R е вписан [tex]\Delta ABC[/tex]. Точката [tex]D \in BC[/tex], a хордите AD и BC се пресичат в точка М. Да се намери BC ако [tex]\angle BMD=120^\circ [/tex], AB=R и BM:MC=2:3.

[Реклама]

[martosss]

[nikolavp]

[martosss]

Аз бих казал че ще се ползва, че М лежи на описаната около равностранния триъгълник АВО окръжност, където О е центърът на оп. около АВС окр., ама са само предположения

[martosss]

аз я реших - получих го [tex]BC=\frac{5R}{\sqrt{7}}[/tex]

[nikolavp]

[martosss]

Така, имаме АВ=АО=ВО=[tex]R[/tex] Откъдето АВО е равностранен триъгълник.
Ъгъл АМВ е 60, откъдето М лежи на окръжността, описана около АВО.
ъгъл АОВ е 60(от равностр. АВО) и от тук дъгата АВ е 60, но ъгъл АДВ е вписан за окръжността и ъгъл АДВ става равен на 30, откъдето ъгъл МВД също е 30 и ВДМ е равнобедрен със страна ВМ=МД=2х.

Сега ще използваме BM*CM=AM*DM => AM=3x.

От триъгълник АВМ и косинусова теорема за ъгъл АМВ намираме

[tex]R^2=9x^2+4x^2-\cancel 2*2x*3x*\frac{1}{\cancel 2}\Right R^2=7x^2\Right x=\frac{R}{\sqrt{7}[/tex] и сега вече ВС=5х=[tex]\frac{5R}{\sqrt{7}}=\frac{5R\sqrt{7}}{7}[/tex]

П.П. Това е възможно най-краткото, което успях да го направя Иначе аз бях тръгнал да гледам и други неща, примерно радиусът на оп. около АВО окръжност да намеря и от там с кос. теорема Ама нещо се отказах, а пък като намерих ъгъл АДВ че е 30(с комбинация от синусова и кос. теорема ) тотално си казах че съм решил задачата Но все пка това си остава най-сбитото решение