Частен случай на една голяма теорема

[Titu_Andrescu]

ABC е триъгълник с ъгли по-малки от 120 градуса. Да се докаже, че правите на Ойлер за триъгълниците ABT, BCT, CAT се пресичат в една точка - N, където T е точката на Торичели за триъгълника ABC (<ATB=<BTC=<CTA=120 градуса). Да се докаже, че тази точка N принадлежи на правата на Ойлер за триъгълника ABC.

Задачата има няколко решения, но едно от най-елегантните е на Racz Bela Andras, Budapest , което може да бъде видяно и от осмокласник.

Успех!

[Реклама]

[Futurolog]

Нека А', В' и С' са точките, външни за тр.АВС, такива, че триъгълниците АВС', А'ВС и АВ'С са равностранни.


Лема 1: АА', ВВ' и СС' се пресичат в точката на Торичели Т.

Доказателство на Лема 1:
Разглеждаме тр. АСС' и тр.АВ'В.
1) АВ=АВ' и <САВ = 60 (+ посока)
2) АС'=АВ и <С'АВ = 60 (+ посока)
Тогава ако извършим ротация Рот на 60 в + посока около точката А, получаваме Рот(тр.АСС') = АВ'В и Рот(СС') = В'В. Нека Т' е пресечната точка на СС' и ВВ'. Тогава СС' = В'В (= Рот(СС')) и <С'Т'В = <СТ'В' = 60 и <ВТ'С = 120. Така получаваме:
1) <С'АВ=<С'Т'В=60 следователно точките А, В, С', Т' лежат на една окръжност к(3);
2) <ВТ'В + <ВА'В = 120+60=180 следователно точките А', В, С, Т' лежат на една окръжност к(1);
3) <САВ'=<СТ'В'=60 следователно точките А, В', С, Т' лежат на една окръжност к(2).
Вижда се, че к(1), к(2) и к(3) се пресичат в точка Т'. РАзглеждаме птсечките Ат' и Т'А'.
1) <С'Т'А = < С'ВА = 60 латп съответно вписани в окръжност к(3).
2) <ВТ'А' = <ВСА' = 60 като съответно вписани в окръжност к(1).
Следователно <Ат'С' + <С'Т'В + <ВТ'А' = 60 + 60 + 60 = 180, т.е. АТ'А' лежат на една права. Освен това, от казаното по-горе следва, че <АТ'В=<ВТ'С=<СТ'А=120, т.е. Т'=Т е точката на Торичели за тр.АВС.

Нека сега А'', В'' и С' са средите съответно на страните ВС, СА и АВ и нека М е пресечната им точка, т.е. М е медицентъра на АВС.
Нека О', О'' и О''' са центровете съответно на окръжностите к(1), к(2) и к(3). Понеже тр.АВС', АВ'С и А'ВС са равностранни и вписани съответно в к(3), к(1) и к(2), то О', О'' и О'''са и медицентрове и ортоцентрове на съответните равностранни триъгълници. Нека М', М'' и М''' са медицентровете на триъгълниците Т'ВС, Т'ВА и Т'АВ.

Лема 2: При горните означения, всяка от правите О'М', О''М'' и О'''М''' минава през точка М.

Доказателство на Лема 2:
От това, че О''' и М''' са медицентрове в съответните триъгълници, полуаваме, че
С''О'''/О'''С' = 1/2 = С''М'''/М'''Т'.
От теоремата на Талес и Лема 1 следва, че М'''М е успредна на СС'. Съвсем аналогично С''М'''/М'''Т' = 1/2 = С''М/МС и отново по Талес и Лема 1 имаме, че М'''М е успоредна на СС'. Но през точка М''' минава само една права, успоредна на СС'. Следователно М лежи на правата О'''М'''. Тъй като О''' и М''' са съответно център на описаната окръжност и медиана на триъгълник АВТ', то О'''М''' е правата на Ойлер за този триъгълник. Съвсем аналогично се доказва твърдението на Лема 2 и за останалите прави О'М' и О''М''.

От Лема 2 директно следва репението на задачата: О'М', О''М'' и О'''М''' са правите на Ойлер за съответните триъгълници, образувани от точката на Торичели и всиките минават през медицентъра М на тр.АВС. Освен това през М минава и правата на Ойлер и на Тр.АВС, така, че всички прави на ойлер се пресичат в една точка N, която съвпада с медицентъра М на тр, АВС.


Ето това е решението (аз май много обяснявах, може и по-кратко, ама нямам чертеж). Това решение сходно ли е с решението, за което говориш, че може да се види и от осмокласник (изцяло съм използвал само триъгълници и теорема на талес и описани окръжност). Ако не е това, мога да помисля за още някое (ако ми остане време)...

[Titu_Andrescu]

Да, това е решението. Браво! Ако някой се интересува мога да дам и б) и в) подточки от задачата.

[Futurolog]

Здравей,

Нямам нищо против да напишеш и другите подточки. Ще е интересно. Извинявам се ако не отговоря известно време, малко ще съм зает тази седмица...

[Titu_Andrescu]

б) Да се докаже, че ако I e центърът на вписаната в триъгълника окръжност, то правите на Ойлер за тлиъгълниците ABI, BCI, CAI също се пресичат в една точка (Точка на Шифлер /Schiffler point/)

* в) Теорема на Бари Лолк /Barry Wolk/: Нека A, B, C и D са четири точки в равнината, при това да няма три от тях, които да лежат на една права. Построите правите на Ойлер за триъгълниците BCD, ACD, ABD, ABC. Да се докаже, че ако три от тези прави се пресичат в една точка, то и четвъртата минава през тази точка.