неравенство*

[ганка симеонова]

Да се докаже, че ако n е естествено число, по- голямо от 2, то

[tex]\frac{1}{2^2 } +\frac{1}{3^2 } +....+ \frac{1}{n^2 }<\frac{n-1}{ n} [/tex]

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Нека видим дали неравенството е в сила при [tex]n=4[/tex] примерно:

[tex]\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}<\frac{4-1}{4} \Rightarrow \frac{3^3.4^2+2^2.4^2+2^2.3^2}{\cancel {4}.3^2.4^2}<\frac{3}{\cancel {4}} \Rightarrow \frac{9.16+4.16+4.9}{9.16}<3 \Rightarrow \frac{144+64+36}{144}<3 \Rightarrow 144+64+36<432 \Rightarrow 144+100<432 \Rightarrow 244<432[/tex], което очевидно е вярно.
Нека сега приемем, че неравенството е изпълнено за [tex]n=k[/tex]. Тогава, по метода на математическата индукция, ще имаме:
[tex]\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}<\frac{k-1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}[/tex].
Преобразуваме дясната страна на неравенството: [tex]\frac{k-1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}=\frac{(k-1)(k^2+2k+1)+k}{k(k+1)^2} \Rightarrow \frac{k^3+2k^2+\cancel {k}-\cancel {2k}-1+\cancel {k}}{k(k+1)^2} \Rightarrow \frac{k^3+k^2-1}{k(k+1)^2} \Rightarrow \frac{k^3+k^2}{k(k+1)^2}-\frac{1}{k(k+1)^2}=\frac{k}{k+1}-\frac{1}{k(k+1)^2}[/tex].

И дотук, . Нещо не мога да доопростя, за да докажа, че неравенството е в сила и за [tex]k+1[/tex] член.

[martosss]

[ганка симеонова]

[tex]\frac{1}{2^2 }<\frac{1}{1 }.\frac{1}{2 }=1-\frac{1}{2 } [/tex]

[tex]\frac{1}{3^2 }<\frac{1}{2 }.\frac{1}{3 }=\frac{1}{2 }-\frac{1}{ 3} [/tex]
.........
[tex]\frac{1}{n^2 }<\frac{1}{n-1 }.\frac{1}{ n}=\frac{1}{n-1 }-\frac{1}{n } [/tex]

=>[tex]\sum_{}^{ } < 1-\frac{1}{2 } + \frac{1}{2 }-\frac{1}{ 3}+...+ \frac{1}{n -1}-\frac{1}{n }=1-\frac{1}{ n}=\frac{n-1}{n } [/tex]

[Spider Iovkov]

Е, все пак бях прав, че индукцията ще подейства, . Браво, госпожо, браво!

[martosss]

[ганка симеонова]

Благодаря, Март. Оправих го