Републикански кръг на олимпиадата в България, 1963 г.

[Spider Iovkov]

Тема за първия етап

Зад. 1. От три различни цифри [tex]x, y, z[/tex] са образувани всички възможни тризначни числа. Сумата на тези числа е три пъти по-голяма от тризначното число, всяка цифра на което е [tex]x[/tex]. Да се намерят цифрите [tex]x, y, z[/tex]. (7 точки)

Зад. 2. Да се реши неравенството:
[tex]\frac{1}{2(x-1)}-\frac{4}{x}+\frac{15}{2(x+1)}\ge1[/tex]. (7 точки)

Зад. 3. Ако [tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex] са ъглите в произволен триъгълник, да се докаже неравенството:
[tex]cos^2{\alpha}+cos^2{\beta}+cos^2{\gamma}+2cos\alpha cos\beta cos\gamma=1[/tex]. (6 точки)


Тема за втория етап

Зад. 1. Да се построи триъгълник, подобен на даден триъгълник, единият връх на който съвпада с дадена точка, а останалите два да лежат съответно върху дадена права и дадена окръжност. (8 точки)
Упътване. Да се използва окръжността, описана около търсения триъгълник.

Зад. 2. Правилен тетраедър е пресечен с равнина, успоредна на кой да е от основните му ръбове и на непресичащия го околен ръб. Да се докаже, че:
а) сечението е правоъгълник;
б) периметърът на сечението не зависи от положението на секущата равнина. (5 точки)

Зад. 3. Да се намери двустенният ъгъл [tex]\phi[/tex], заключен между основата и околната стена на правилна четириъгълна пирамида, ако се знае, че радиусът на описаното около пирамидата кълбо е три пъти по-голям от радиуса на вписаното в нея кълбо. (7 точки)

[Реклама]

[martosss]

[quote="Емо"]Тема за първия етап

Зад. 1. От три различни цифри [tex]x, y, z[/tex] са образувани всички възможни тризначни числа. Сумата на тези числа е три пъти по-голяма от тризначното число, всяка цифра на което е [tex]x[/tex]. Да се намерят цифрите [tex]x, y, z[/tex]. (7 точки)

Приемаме че между избраните цифри няма 0, защото тогава някои от числата стават невалидни

Тогава получаваме (x+y+z)222=333x => x=2(y+z). Сега понеже това са различни цифри, то единствените подредби за (x,y,z) са (6,2,1), (6,1,2),(8,3,1) и (8,1,3)

[martosss]

[Spider Iovkov]

Задача 2, етап първи

Ясно е, че [tex]DS_{x}[/tex] са [tex]x\neq0, x\neq1, x\neq -1[/tex]. Преобразуваме неравенството и получаваме:
[tex]\frac{-2x^3+8x^2-12x+8}{2x(x-1)(x+1)}\ge0 \Leftrightarrow \frac{x^3-4x^2+6x-4}{x(x-1)(x+1)}\le0 \Leftrightarrow \frac{(x-2)(x^2-2x+2)}{x(x-1)(x+1)}\le0 (1)[/tex].
[tex]x^2-2x+2>0, x\in R \Rightarrow (1) \Leftrightarrow \frac{x-2}{x(x-1)(x+1)}\le0 \Leftrightarrow x(x+1)(x-1)(x-2)\le0 \Leftrightarrow x\in (-1; 0), (1; 2][/tex], като [tex]x\neq0, x\neq1, x\neq -1[/tex].

[Пафнутий]

[garion]

не е забравил, а е обяснил че 0 не може да бъде измежду тези 3 цифри.
иначе трябваше и (8, 4, 0), (8, 0, 4), (6, 3, 0), (6, 0, 3), (2, 1, 0), (2, 0, 1) да се добавят