Равнобедрен трапец

[ObsCure]

Напречното сечение на напоителен канал е равнобедрен трапец.Каналът има дълбочина [tex]h[/tex] и пропускателна способност [tex]S[/tex].Определете наклонът на бедрото на сечението,така че за бетонирането на вътрешната част на канала да се изразходва най-малко материал.

[Реклама]

[evgeni91]

тоест... за коя стойност на острия ъ-л"a"... a+b+2c=min

[ObsCure]

[evgeni91]

S=1/2(a+b).h
a+b=2S/h...
=>(a+b)_фиксирано... остава да намерим за коя стойност на "α"(=ъ-лBAD=ъ-лABC) бедрото_"c" приема най-малка стойност...
а именно когато c=h_и би трябвало да получим правоъгълник... така ли?>!

[ObsCure]

Проблемът е,че не знам спрямо кое точно да изследвам стойността на ъгълът.Хубаво казваме основите,но освен ако те не се представят чрез някакво нейзвестно и не се направят връзки м/у тях и даденото,няма как да стане.

[evgeni91]

има ли значение поотделно но колко са равни основите като имаме техния сбор...
, ако търсим минималната обиколка P=a+b+2c... a+b е винаги константа =2S/h...
... тоест тази минимална обиколка зависи само от дължината на бедрата, която е в зависимост от острия ъгъл. Знаем, че най-малката възможна дължина на отсечка(_в случая бедрото), свързваща две успоредни прави(_основите) e именно разстоянието между тях=h...
и за това вземаме бедрото за h...\, но по този начин вече не говорим за трапец!!!
а за правоъгълник=>"α"=90,

аз поне така мисля...

[ObsCure]

В този тип задачи,когато се прави качествен извод,винаги се получава нова фигура,т.е. вероятно си прав.И все пак,трябва да се намери ъгълът.

P.S.Именно фактът,че разполагаме само с константи прави задачата нелека.Трябва да се въведе нейзвестно.

[evgeni91]

[ObsCure]

[evgeni91]

[g_kulekov]

Понеже задачата е пусната от ObsCure, правя извод, че се интересува не от готово решение, а от подхода за решаване. Затова само ще маркирам идеята.
От условието следват две неща: 1) пропускателната способност е известна; 2) за тази пропускателна способност се търси наклонът на стените, при който вътрешната част на канала да има минимална повърхност.
От тук първият извод – пропускателната способност е константа (не я знаем колко е, но е тя трябва да се запази какъвто и наклон на стените да подберем, следователно е константа).
Пропускателната способност зависи от две величини – площта на сечението и надлъжния наклон на канала. Естествено следствие от условието е, че надлъжният наклон е известен, макар и да не е посочен в условието. И понеже пропускателна способност трябва да бъде константа, то следва вторият извод – какъвто и наклон на стените да подберем, лицето на сечението трябва да е едно и също, т.е. лицето на трапеца като функция на наклона на околните стени трябва да е константа.
Ако означим малката основа на трапеца с “а” (дъното на канала), а бедрата с “b” (стените на канала), площта за бетониране ще е (a+2b).L, където L е дължината на канала. Дължината L също не я знаем, но от съображението, че ни интересува при какъв наклон на стените ще се изразходва най-малко материал, независимо от дължината на канала, следва, че задачата се свежда до намиране на минимума на функцията f=a+2b.
Остава да се изразят a и b чрез ъгъла на наклона (разбира се, и чрез височината и лицето на трапеца, но за тях вече знаем, че са константи). Мисля, че това вече не е проблематично

[ObsCure]

Много ти благодаря,g_kulekov!

[ObsCure]

Решение:

Въвеждаме следните означения

[tex]<BAD=\varphi[/tex]

[tex]AB=x[/tex]

[tex]CD=y[/tex]

[tex]AD=BC=z[/tex]

[tex]PD=h[/tex]

От ▲APD имаме

[tex]\frac{PD}{AD}=sin\varphi => z=\frac{h}{sin\varphi}[/tex]

От същият триъгълник получаваме

[tex]x-y=2hcotg\varphi[/tex]

И така

[tex]2S=h(x+y)[/tex]

Правим с-ма с последните 2 уравнения и изразяваме y

[tex]y=\frac{S}{h}-hcotg\varphi[/tex]

Благодарение на неоценимите съвети на g_kulekov,вече знаем,че търсената ф-я е

[tex]f=y+2z=\frac{S}{h}-hcotg\varphi+\frac{2h}{sin\varphi} , \varphi\in(0;90^\circ)[/tex]

Оттук е ясно.