Една задачка свързана с синусова теорема

[complex]

Най-малката страна на триъгълник се отнася към радиуса на описаната около него окръжност както 6:5, а другите страни са съответно 20см. и 21см. Да се намери най-малката страна на триъгълника.
Помагайте, нещо не я хващам. Благодаря

[Реклама]

[ObsCure]

Решение:

Нека ъгълът срещу търсената страна е [tex]\alpha[/tex],а тази страна означим с x.Съгласно условието

[tex]\frac{x}{R}=\frac{6}{5} => R=\frac{5x}{6}[/tex]

Сега използваме синусова теорема

[tex]\frac{x}{sin\alpha}=2R => sin\alpha=\frac{3}{5}[/tex]

Намираш cosα с основното тригонометрично,прилагаш косинусовата и готово.

P.S.x=13см

[complex]

Благодаря ти, реших я
Ще ми помогнете ли и за още една задача:
Трапец с височина 1 и с остър ъгъл [tex]\alpha [/tex] е вписан в окръжност. Да се намери радиусът й, ако ъгълът между диагоналите срещу бедрото е [tex]\varphi [/tex].
Отг. : [tex]\frac{1}{ 2sin \varphi /2 .sin \alpha } [/tex]

[ObsCure]

Решение:

Трапецът е описан,т.е. е равнобедрен,диагоналите са равни,и радиусът на описаната около него окръжност,е равен на радиуса на описаната около ▲ABD окръжност.И така,нека

BD=d

Лицето на трапецът е

[tex]S=\frac{AC.BD.sin\varphi}{2}=\frac{d^{2}sin\varphi}{2}[/tex]

От ▲DD*B имаме

[tex]BD*=\frac{AB+CD}{2}[/tex]

Прилагаме Питагор за същият триъгълник и получаваме

[tex]BD*=\sqrt{d^{2}-1}[/tex]

Сега приравняваме двата израза за лицето на трапеца и получаваме

[tex]\sqrt{d^{2}-1}=\frac{d^{2}_sin\varphi}{2} <=> d^{2}-1=\frac{d^{4}sin^{2}\varphi}{4}[/tex]

Оттук получаваме биквадратното

[tex]d^{4}sin^{2}\varphi-4d^{2}+4=0[/tex]

Полагаме [tex]t=d^{2} => t^{2}sin^{2}\varphi-4t+4=0 => t_{1,2}=\frac{4\pm4cos\varphi}{2sin^{2}\varphi}=\frac{1}{sin\varphi/2}[/tex](сети се как получихме това!)

Оттук е ясно,че

[tex]d=\frac{1}{sin\varphi/2}[/tex]

Остана ти само да приложиш синусовата теорема към [tex]\Delta[/tex]ABD.

[complex]

Благодаря за решението, само не разбрах как установихме, че [tex]BD*=\frac{AB+CD}{2 }[/tex]

[ObsCure]