Регистрирайте сеРегистрирайте се

Квадрат


 
   Форум за математика Форуми -> Геометрия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Mon Jun 16, 2008 12:23 pm    Заглавие: Квадрат

В даден квадрат [tex]ABCD[/tex] точката [tex]A_{1}[/tex] е среда на [tex]BC[/tex], [tex]B_{1}[/tex] — среда на [tex]CD[/tex], [tex]C_{1}[/tex] — среда на [tex]AD[/tex], [tex]D_{1}[/tex] — среда на [tex]AB[/tex]. Да се докаже, че при пресичането на правите [tex]AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}, DD_{1}[/tex] се получава квадрат, страната на който е [tex]\frac{2}{5}AA_{1}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Tue Jun 17, 2008 11:14 am    Заглавие:

Нека [tex]ABCD[/tex] е даденият квадрат, като по условие [tex]BA_{1}=A_{1}C, CB_{1}=B_{1}D, DC_{1}=AC_{1}, AD_{1}=BD_{1}[/tex]. Ще докажем, че [tex]MNPQ[/tex] е квадрат и че [tex]MN=\frac{2}{5}AA_{1}[/tex].
Лесно се вижда, че [tex]AA_{1}||CC_{1}, BB_{1}||DD_{1}[/tex]
[tex]\Rightarrow MNPQ[/tex] е успоредник.
Прекарваме през [tex]D_{1}[/tex] права, успоредна на [tex]AA_{1}[/tex]. Тя пресича [tex]BB_{1}[/tex] в точка [tex]S[/tex]. В [tex]\triangle ABN[/tex] [tex]D_{1}S[/tex] е средна отсечка и [tex]\Rightarrow D_{1}S=\frac{1}{2}AN[/tex]. Но тъй като [tex]D_{1}S=MN[/tex] (като срещуположни страни в успоредник), то [tex]D_{1}S=AM=MN[/tex]. Понеже [tex]BS=SN[/tex], а [tex]SN=MD[/tex], то [tex]\Rightarrow BS=NS=D_{1}M[/tex].
[tex]\triangle BNA_{1}[/tex] е еднакъв с [tex]\triangle D_{1}AM (BA_{1}=AD_{1}=\frac{1}{2}AB, \angle B_{1}BC=\angle A_{1}AB, \angle AA_{1}B=\angle AD_{1}D)[/tex]
[tex]\Rightarrow NA_{1}=MD_{1}, NB=AM[/tex].
Но тъй като [tex]MD_{1}=\frac{NB}{2}=\frac{AM}{2}[/tex], то [tex]\Rightarrow NA_{1}=\frac{1}{2}AM[/tex]. Тогава [tex]MN=\frac{2}{5}AA_{1}[/tex].
По аналогичен начин се установява, че [tex]NP=NB[/tex], но [tex]NB=MN[/tex]
[tex]\Rightarrow NP=MN[/tex], тоест две съседни страни в успоредник са равни.
[tex]\angle MNP=\angle A_{1}NB=\angle A_{1}AB+\angle ABB_{1}=\angle B_{1}BC+\angle ABB_{1}=\angle ABC=90^\circ[/tex].
От всичко това следва, че [tex]MNPQ[/tex] е квадрат.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Геометрия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.