Отношение на тангенси

[Spider Iovkov]

Да се определят тангенсите на [tex]x, y, z[/tex] от уравнението [tex]tgx:tgy:tgz=a:b:c[/tex], ако [tex]x+y+z=180^\circ[/tex] и [tex]a, b, c[/tex] са положителни числа.

[Реклама]

[ганка симеонова]

означаваме: [tex]tgx=at; tgy=bt; tgz=ct ; x, y, z[/tex]-ъгли в триъгълник=>
[tex]tgx+tgy+tgz=tgx.tgy.tgz=>(a+b+c)t=abct^3=>t=\sqrt{\frac{a+b+c}{abc } }...[/tex]

[Spider Iovkov]

Пускам по молба на госпожа Ганка Симеонова, .

От [tex](1) tgx:tgy:tgz=a:b:c[/tex] получаваме
[tex](2) \frac{tgx+tgy+tgz}{a+b+c}=\frac{tgx}{a}=\frac{tgy}{b}=\frac{tgz}{c}[/tex].
Известно е обаче, че за ъгли, които удовлетворяват равенството
[tex](3) x+y+z=180^\circ[/tex],
е в сила релацията
[tex](4) tgx+tgy+tgz=tgxtgytgz[/tex].
От [tex](2)[/tex] и [tex](4)[/tex] получаваме
[tex](5) tgytgz=\frac{a+b+c}{a}, tgxtgz=\frac{a+b+c}{b}, tgxtgy=\frac{a+b+c}{c}[/tex].
Освен това от [tex](2)[/tex] имаме
[tex](6) \frac{tgx}{tgy}=\frac{a}{b}[/tex].
От последното равенство на [tex](5)[/tex] и от [tex](6)[/tex] намираме
[tex]tgx= \pm \sqrt{\frac{a(a+b+c)}{bc}}[/tex].
Аналогично получаваме
[tex]tgy= \pm \sqrt{\frac{b(a+b+c)}{ac}}, tgz= \pm \sqrt{\frac{c(a+b+c)}{ab}}[/tex].
От условието, че [tex]a, b[/tex] и [tex]c[/tex] са положителни числа, следва, че [tex]tgx, tgy[/tex] и [tex]tgz[/tex] са едновременно положителни или отрицателни.
Следователно задачата има две решения: при едното всички радикали са с положителен знак, при другото са с отрицателен знак.