Задача от Списание Ko:mal - Февруари 2006 (Унгария)

[Titu_Andrescu]

Рационалните числа x и y са такива, че x^5+y^5 e равно на удвоеното произведение на квадратите им (2x^2y^2). Да се докаже, че 1-xy е квадрат на рационално число.

[Реклама]

[Titu_Andrescu]

Това пък е толкова лесно. Имаме че x⁵+y⁵=2x²y². Трябва да се докаже, че 1-xy=f²(x,y), f(z):Q->Q

[Titu_Andrescu]

1 сл. xy=0, тоест поне едно от числата е 0. Тогава очевидно 1-xy=1 e квадрат на рационално число.
2 сл. xy≠0. Имаме, че (x³-y²)(y³-x²)=(x⁵+y⁵)-x²y²-x³y³=2x²y²-x²y²-x³y³=x²y²(1-xy).
Следователно 1-xy=(x³-y²)(y³-x²)/(x²y²)(1), но от друга страна имаме, че x⁵+y⁵=2x²y², което е еквивалентно на x⁵-x²y²=x²y²-y⁵ или x²(x³-y²)=y²(y³-x²), тоест (y³-x²)/x²=(x³-y²)/y² (2)

Заместваме в (1) с (2) и получаваме искания резултат.