Няколко задачи за лице от сборника на Коста Коларов

[Manchev]

Здрасти. Почвам да се чувствам като някакъв паразит в този форум, само искам помощ, а на никого не мога да помогна аз самият. Днес хванах на Коста Коларов сборника 17та тема- Лице на многоъгълник, и запънах на няколко задачи, а именно- 17.77, 17.81, 17.82, 17.84, 17.85, 17.86

17.77
В окръжност е вписан остроъгълен равнобедрен триъгълник. Да се намери лицето му ако разстоянията от центъра на окръжността до бедрото и до основата му са съответно 15см и 7см.

17.81
Средите на страните и върха С на АВС лежат на една окръжност к (O;R). Са се докаже, че радиусът r на вписаната в АВС окръжност е два пъти по-малък тогава и само тогава когато AB= 8/3√S ABC

17.82
Да се намери ъгълът [tex] \alpha [/tex] на АВС ако b²²+c²-a²=4S

17.84
Върху продължението на страните AB,BC,CA на ABC са нанесени отсечките BA₁=BA, CB₁=CB, CA₁=CA. Да се докаже, че лицето на A₁B₁C₁ е 7 пъти по-голямо от лицето на ABC.

17.85
Върху продълженията на страните на АВС в двете посоки са нанесени отсечки равни съответно на AB,BC,CA и крайните точки са съединени. ДА се докаже, че лицето на получения шестоъгълник е 13 пъти по-голямо от лицето на ABC.

17.86
Точките M и N са средите съответно на страните CD и AD на успоредника ABCD. Правите АМ и BN се пресичат в точка Р. Каква част от лицето на ABCD е лицето на ANP?

Благодаря предварително.

[Реклама]

[ганка симеонова]

означаваме: [tex]AB=a; AC=b; \angle A=\angle B=\alpha =>\angle C=180^\circ -2\alpha [/tex]
[tex]\Delta AQO:cos\alpha =\frac{15}{R } ; \Delta APO:cos(180^\circ -2\alpha )=-cos2\alpha =\frac{7}{ R}[/tex]
[tex]-cos2\alpha =1-2cos^2\alpha =>1-2.\frac{225}{R^2 }=\frac{7}{ R} =>R^2-7R-450=0 =>R=25[/tex]
[tex]\Delta AQO=>b=40; \Delta APO:=>a=48 [/tex]
последните две се получават от питагоровата теорема. после мисля, е ясно..

[ганка симеонова]

[tex]\angle AOM=\angle ABC=\beta ; \angle BON=\angle BAC=\alpha =>\angle MCN=\gamma [/tex];MONC- вписан=>[tex]\angle MON+\angle C=180^\circ =>\gamma =90^\circ =>MONC-[/tex]-правоъгълник=>радиусът на описаната около него окръжност е равен на медианата към хипотенузата, т.е. [tex]R=\frac{c}{4 }=\frac{2\sqrt{S} }{ \sqrt{3} } [/tex]
нека [tex]c=\frac{8}{ 3}\sqrt{S} =>ab=2S; a^2+b^2=\frac{64}{9 }S[/tex]
умножаваме първото уравнение по 2 и събираме с второто. получаваме, след коренуване: [tex]a+b=\frac{10}{ 3}\sqrt{S} =>r=\frac{a+b-c}{ 2}=\frac{\sqrt{S} }{\sqrt{3} } =>R=2r [/tex]
обратното се доказва аналогично

[ганка симеонова]

3) ще ползвам котангенсовата теорема, но ще я изведа. следвайки косинусовата теорема получаваме:
[tex]b^2+c^2-a^2=2bc.cos\alpha [/tex]умножаваме и делим дясната страна на [tex]2sin\alpha [/tex]=>
[tex]b^2+c^2-a^2=4(\frac{1}{ 2}bcsin\alpha )cotg\alpha =>[/tex]
[tex] b^2+c^2-a^2=4Scotg\alpha [/tex] от това и даденото =>[tex]cotg\alpha =1=>\alpha =45^\circ [/tex]

[nikolavp]

1) От къде разбрахте, че [tex]AQ=\frac{1}{2}AC[/tex] ?

[ганка симеонова]

OQ е разстоянието от центъра на окръжността до хордата АС=> OQ е част от диаметър, перпендикулярен на хорда=>той разполовява хордата- теорема

[nikolavp]

Ох да вярно благодаря

[Manchev]

Благодаря много за помщта, сега сядам на компютъра, че нямах интернет. Ще ви помоля само за още нещо, бихте ли ми пояснили на пъравта задача- 17.77 защо ъглите AQO и AOP са [tex] \alpha [/tex] и 180-2[tex] \alpha [/tex]. Оттам нататък решението разбира се е лесно, но аз не мога да си обясня как се стига дотук.

[ганка симеонова]

[tex]\angle ABC=\frac{1}{ 2}AC[/tex]дъга, защото е вписан [tex]\angle AOC=2\angle ABC=2\alpha [/tex]-централен=> [tex]\angle AOQ=\alpha [/tex]
аналогично за другия

[ганка симеонова]

17.84
[tex]sin(180^\circ -\alpha )=sin\alpha [/tex]
[tex]\frac{S_{C_1AA_1}}{ S_{ABC}}=\frac{0,5AC_1.AA_1.sin(180^\circ -\alpha )}{0,5AB.AC. sin\alpha }=\frac{b.2c}{b.c }=2 [/tex]

=>[tex] S_{C_1AA_1}=2S [/tex]
аналогично и другите триъгълници имат лице два пъти по- голямо от лицето на АВС=>лицето на цялата фигура е 7S

[Manchev]

Ганка Симеонова, за пореден път искам да ви благодаря за отзивчивостта и помощта. Мисля че всички в този форум са късметлии, че вие пишете тук.

[ганка симеонова]