Система

[Spider Iovkov]

Да се определят всички стойности на [tex]k[/tex], за които системата
[tex]\begin{tabular}{|l}x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=9\\\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...+\frac{1}{x_{k}}=1\end{tabular}[/tex]
има решения в положителни числа. Да се намерят съответните решения.

[Реклама]

[ганка симеонова]

умножавайки двете неравенства, получаваме:
[tex](x_1+x_2+...x_k)(\frac{1}{x_1 }+\frac{1}{x_2 }+...\frac{1}{ x_k})=9 [/tex]

ще ползвам едно известно неравенство за положителни числа, а именно:
[tex](x_1+x_2+...x_k)(\frac{1}{x_1 }+\frac{1}{x_2 }+...\frac{1}{ x_k})\ge k^2 [/tex],
като равенство се достига, само когато числата са равни по между си.
=>[tex] 9\ge k^2=>k=1; 2; 3 [/tex]
[tex]k=3 =>x_1=x_2=x_3=3 [/tex]
[tex]k=1=>x_1=9; \frac{1}{x_1 } =1=>[/tex]системата е несъвместима
[tex]k=2=>x_1+x_2=9; \frac{1}{x_1 }+\frac{1}{x_2 }=1 =>(\frac{9\pm \sqrt{45} }{ 2} ; \frac{9\mp \sqrt{45} }{ 2}) [/tex]

[Пафнутий]

Понеже знаем, че уравнението [tex]a+b+...+k=N[/tex] , за който [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+...+\frac{1}{k}=1[/tex] в цели числа има решение само за 1,2,3 и N=6 Тогава е изключено [tex]X_{1}[/tex]≠[tex]X_{2}[/tex]≠....≠[tex]X_{k} [/tex][tex]\Rightarrow X_{1}=X_{2}=....=X_{k}=\frac{9}{k}[/tex], тогава от второто уравнение има [tex]\underbrace{\frac{k}{9}+\frac{k}{9}+...+\frac{k}{9}}_{k-puti}=1 \Rightarrow \frac{k^2}{9}=1 \Rightarrow k=\pm3 [/tex], но от [tex]k>0 \Rightarrow k=3[/tex]

ПП На Ганка решението е значително по-добро

[ганка симеонова]

[Пафнутий]

Да знам, но просто не ми достигнаха познанията, за да я реша и за положителни и реших за цели да я реша, което е значително по-лесно
ПП Това известното неравенство как се нарича?

[ганка симеонова]

никак. няма си име, горкичкото