Лесно уравнение на което незнам къде бъркам в решението

[Михаил]

[tex]y^{'}=\e^{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}[/tex]
предварително благодаря на който я реши

[Реклама]

[Mister ABC]

Уравнението
(1) [tex]y'=e^{\frac{y}{x }}+\frac{y}{ x}[/tex]
е хомогенно от първи ред. С помощта на субституцията[tex]\frac{y}{ x} =z[/tex] или което е същтото
(2) [tex]y=xz[/tex] то се свежда към уравнение с разделени променливи (обърнете внимание на това, че тук y и z са функции на x т.е. (2) може да се запише като [tex]y(x)=xz(x)[/tex])
Диференцирайки (2) намираме
[tex]y'=z+xz'[/tex], заместваме в (1) и получаваме
[tex]z+xz'=e^z+z[/tex] или [tex]x\frac{dz}{dx }=e^z [/tex], от където
[tex]e^{-z}dz = \frac{dx}{ x} [/tex], което е уравнение с разделени променливи. След интегриране на двете страни получаваме
[tex]-e^{-z}=lnC^*x[/tex] или [tex]e^{-z}=-lnC^*x=ln(C^*x)^{-1}=ln\frac{C_1}{ x} [/tex], където[tex]C_1=(C^*)^{-1}[/tex]. За да получим явен вид за функцията z логаритмуваме равенството [tex]e^{-z}=ln\frac{C_1}{x } [/tex] и получаваме
[tex]-z=ln(ln\frac{C_1}{x })=ln(lnC_1-lnx)=ln(C-x) [/tex] или окончателно след заместване на z с y/x получаваме общото решение на (1), което е

[tex]y=-xln(C-lnx)[/tex]