Задача от тема на УАСГ

[Руси Колев]

Някой може ли да реши следната задача:

a) Да се реши уравнението [tex]tg(t^2-t)cotg2=1[/tex]

Това е елементарно:
[tex]t_1_,_2=\frac{1\pm \sqrt{9+4k\pi } }{2 } [/tex]

б) Да се определи кои от корените на горното уравнение лежат в интервала [tex](-\frac{\pi }{ 2} ; \frac{\pi }{ 2} )[/tex]
в) Нека [tex]0<t_1<t_2<...<t_{101}[/tex] са първите 101 последователни положителни решения на даденото уравнение (взима се само корена с "+" от "а)" ). Да се докаже, че [tex]t_1^2+t_2^2+...+t_1_0_1^2=t_1+t_2+...+t_1_0_1+202+5050\pi[/tex]

Проблемите са ми в "б)" и "в)"

Благодарности!

[Реклама]

[ганка симеонова]

[tex]9+4k\pi \ge 0=>k\ge 0[/tex]

[tex]k=0=>\frac{1+\sqrt{9+0\pi } }{2 }=2>\frac{\pi }{2 } [/tex]този корен не е в интервала. увеличавайки к, положителните корени нарастват.

[tex]k=0 =>\frac{1-\sqrt{9+0\pi } }{2 }=-\frac{1}{ 2} >\frac{-\pi }{2 }[/tex]-този корен принадлежи на интервала . по аналогичен начин проверяваш и за следващите к.

да разгледаме: [tex]t_1=\frac{1+\sqrt{9+0\pi } }{ 2} ; t_2=\frac{1+\sqrt{9+4\pi } }{ 2} ; t_3=\frac{1+\sqrt{9+8\pi } }{ 2};...t_{101}=\frac{1+\sqrt{9+400\pi } }{ 2} [/tex]

[tex]t_1^2+t_2^2+...+t_{101}^2= \frac{1}{4 }(1+2\sqrt{9+0\pi }+9+0\pi +1+2\sqrt{9+4\pi }+9+4\pi +1+2\sqrt{9+8\pi }+9+8\pi +...+ 1+2\sqrt{9+400\pi }+9+400\pi) [/tex]
тук от всяка една 9 след корените ще всема по една 1 и ще я прибавя към 1 пред съответните корени=>

[tex]\frac{1}{ 4}[(2+2\sqrt{9+0\pi } )+( 2+2\sqrt{9+4\pi }) + (2+2\sqrt{9+8\pi })+...+ (2+2\sqrt{9+400\pi })] +\frac{1}{4 }[8.101+(0\pi +4\pi +8\pi +...+400\pi )]= [/tex]

[tex]=t_1+t_2+t_3+...+t_{101}+\frac{1}{4 }(808+20200\pi )=t_1+t_2+t_3+...+t_{101}+202+5050\pi [/tex]

[Руси Колев]

БЛАГОДАРЯ ТИ МНОГО!!!
Поздрави!

[r2d2]

За в)

Имаме [tex]t_i^2-t_i=2+(i-1)\pi[/tex] или [tex]t_i^2=t_i +2 +(i-1)\pi \;\; i=1,2,3...[/tex].Като сумираме тези 101 равенства получаваме:
[tex]t_1^2+t_2^2+...+t_{101}^2=t_1+..+t_{101}+2*101+\pi\cdot(0+1+...+100)[/tex]