ще ми подскажете ли за още няколко задачки

[veselin400000]

1. да се докаже ако а ²+b²=2с², то m²_a+m²_b=2m²_c
2. ▲ABC α=2β, докажете l_a=b.c/a
3. AL ъглополовяща в ▲ABC докажете че α=2β, точно тогава, когато а²=b(b+c)
4. в ромба ABCD BD=d1 AC=d2 ако R1 е описана около ▲ABD a R2 около ABC докажете d1=4R₁²R₂/(R₁²+R₂²)

[Реклама]

[martosss]

[veselin400000]

4m _a ²=2b²+2c²-a² ... използвах ги но се затруднявам в изразяването не ми се получава нещо

[martosss]

Е ми извинявай ама точно си се получава.. ти какво искаш сега, да ти го разпиша ли? Ми разпиши го още веднъж бавничко, мисли, трябва да излезе

[veselin400000]

моля ви нека някой ми помогне че ми трябват за утре от 3 дни се мъча как ли не ги изразявах но нищо не получвам

[nikolavp]

[veselin400000]

matrosss ако изразя медианите чрез страни получавам обратното твърдение

[nikolavp]

Заповядай:


[tex]\begin{tabular}{|r} 4m_{a}^2+a^2=2c^2+2b^2 \\ 4m_{b}^2+b^2=2c^2+2a^2 \\4m_{c}^2+c^2=2a^2+2b^2 \end{tabular}[/tex] Събираме уравненията в системата =>

[tex]4m_{a}^2+4m_{b}^2+4m_{c}^2+\underbrac{a^2+b^2}_{2c^2}+c^2=4c^2+4b^2+4a^2 \\4m_{a}^2+4m_{b}^2+4m_{c}^2=\underbrac{4c^2}_{2(a^2+b^2)}+4b^2+4a^2-3c^2 \\ 4m_{a}^2+4m_{b}^2+4m_{c}^2 = 6a^2+6b^2-3c^2[/tex]
Сага от третото уравнение в системата знаем, че [tex]4m_{c}^2=2a^2+2b^2-c^2/.3 \\12m_{c}^2=6a^2+6b^2-3c^2[/tex]=> Като заместим от дясната страна на нащо равенство имаме
[tex]4m_{a}^2+4m_{b}^2+4m_{c}^2 = \underbrac{6a^2+6b^2-3c^2}_{12m_{c}^2}\\ 4m_{a}^2+4m_{b}^2+4m_{c}^2=12m_{c}^2\\4m_{a}^2+4m_{b}^2=8m_{c}^2/:4 \\m_{a}^2+m_{b}^2=2m_{c}^2 [/tex]

[veselin400000]

много ти благодаря току що прозрях и подобните триъгълници във втора и продължавам да мисля за четвърта

[nikolavp]

3) [tex]\angle LAB= \angle LAC =\angle ABL = \beta[/tex] => [tex]\triangle ABL[/tex]равнобедрен => ако пуснем височината тя е и медиана => ако височината е LH(H принадлежи на АБ) => [tex]\triangle AHL: \cos\beta=\frac{\frac{c}{2}}{AL}[/tex] AL го имаме от миналата задачка => [tex]\cos\beta=\frac{\cancel{c}.a}{2b.\cancel{c}}=\frac{a}{2b}[/tex]
[tex]\triangle ABC: [/tex] cos теореми за [tex]\angle BAC;\angle ABC:[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|r} a^2=b^2+c^2-2cos2\beta.bc \\b^2=a^2+c^2-2cos\beta.a.c \end{tabular} [/tex]Събираме двечките

[tex]\cancel{a^2+b^2}=\cancel{a^2+b^2}+2c^2-2cos2\beta.b.c-2cos\beta.a.c /:c \\ 2c-2(2\cos^2\beta-1)b-2cos\beta.a.c=0[/tex]
Сега си заместваме [tex]cos\beta[/tex] който намерихме в началот =>

[tex]2c-2(\frac{\cancel{2}.a^2}{\cancel{2}.2b^2}-1).b-\frac{\cancel{2}a^2}{\cancel{2}b}=0\\ 2c-\frac{\cancel{2}a^2\cancel{b}}{\cancel{2}b^{\cancel{2}}}+2b-\frac{a^2}{b}=0 /.b \\2bc-a^2+2b^2-a^2=0\\2a^2=2bc+2b^2=0/:2\\bc+b^2=a^2\\b(c+b)=a^2[/tex]
Знам, че е дълго, но е късно и не мога друго да измисля . Сега ще видя дали и последната ще мога

[veselin400000]

явно аз погрешно съм разбрал условието помислих че от а²=b(b+c) трябва да стигнем до α=2β

[nikolavp]

[ганка симеонова]

означаваме:[tex]R_{ABD}=r; R_{ABC}=R; OA=OC=y; OB=OD=x[/tex]
[tex]\Delta ABO=>AB=\sqrt{x^2+y^2}=>AM=\frac{1}{2 }\sqrt{x^2+y^2}[/tex]
[tex]\Delta AMO_2\approx \Delta AOB=>\frac{\sqrt{x^2+y^2} }{ 2y}=\frac{r}{ \sqrt{x^2+y^2}}...(1) [/tex]
[tex]\Delta O_1O_2O\approx \Delta ABO=>\frac{R-x}{y-r }=\frac{y}{x }....(2) [/tex]
от (1) и (2)[tex] =>\frac{y}{ x}= \frac{R}{ r}=>y=\frac{Rx}{ r}[/tex]...заместваме в (1) и получаваме [tex]x=\frac{2Rr^2}{ R^2+r^2} =>d_1= \frac{4Rr^2}{ R^2+r^2} [/tex]

[ганка симеонова]

"точно тогава, когато", значи че задачата трябва да се докаже и в двете посоки.
1) нека [tex]\alpha =2\beta =>\Delta ALC\approx \Delta BCA=>\frac{CL}{AC }=\frac{AC}{CB }=\frac{AL}{AB } [/tex]
=>[tex]\frac{a-l}{b }=\frac{b}{a } =\frac{l}{ c} [/tex]
от (2) и (3) отношение получаваме: [tex]l=\frac{bc}{ a} [/tex]
от (1) и (2) отношение получаваме: [tex]a^2-al=b^2=>a^2-bc=b^2=>a^2=b(b+c) [/tex]

2) нека сега е изпълнено: [tex]a^2=b^2+bc [/tex]
от свойството на ъглополовящата получаваме: [tex]CL=\frac{ab}{b+c } ;BL=\frac{ac}{b+c } ; l^2=bc-CL.BL=>l^2=...=\frac{bc^2}{ b+c}....(1) [/tex]- последното се получава като заместим отсечките и опростим израза за квадрата на ъглополовящата
[tex]LB^2=\frac{a^2c^2}{(b+c)^2 }=\frac{b(b+c)c^2}{(b+c)^2 }=\frac{bc^2}{b+c }....(2)[/tex]
от (1) и (2)=>[tex]AL^2=BL^2=>AL=BL=\Delta ALB[/tex]-равнобедрен=>[tex]\angle LAB=\angle LBA=\beta =>\angle CAB=2\angle LAB=>\alpha =2\beta [/tex]