Необходимо и достатъчно условие

[Spider Iovkov]

Да се докаже, че необходимо и достатъчно условие да се пресичат в една точка ъглополовящата на [tex]\angle BAC[/tex], медианата през върха [tex]B[/tex] и височината през върха [tex]C[/tex] на [tex]\triangle ABC[/tex] е да бъде изпълнено равенството
[tex]cos \angle BAC=\frac{sin \angle ACB}{sin \angle ABC + sin \angle ACB}[/tex].

[Реклама]

[martosss]

Аз стигнах до това, че трябва да докажа, че [tex]tg\be =cos\alp[/tex]

П.П. Сега пък стигнах до [tex]cos(\gam -\be )=cos\alp[/tex], което ми звучи по-добре, ама се пак трябва да го докажа !!!

[ObsCure]

Необходимост:Съгласно теоремата на Чева,за да се пресичат височината,медианата и ъглополовящата в 1 точка е необходимо

[tex]\frac{AH}{BH}.\frac{BL}{CL}.\frac{CM}{AM}=1[/tex]

От правоъгълният ▲ACH получаваме

[tex]AH=AC.cos\alpha[/tex]

а от ▲BHC имаме

[tex]HB=CB.cos\beta[/tex]

От свойството на ъглололовящата в комбинация със синусова теорема

[tex]\frac{BL}{CL}=\frac{AB}{AC}=\frac{sin\gamma}{sin\beta}[/tex]

Очевидно е,че

[tex]\frac{CM}{AM}=1[/tex]

Сега заместваме по-горе...

[tex]\frac{AH}{BH}.\frac{BL}{CL}.\frac{CM}{AM}=\frac{AC.cos\alpha}{CB.cos\beta}.\frac{AB}{AC}.1= \frac{cos\alpha}{cos\beta}.\frac{sin\gamma}{sin\alpha}[/tex]

To be continued...

[ганка симеонова]

аз пък стигнах до следното:
нека медианата, височината и ъглополовящата са съответно: [tex]BM; CD; AL[/tex]
понеже се пресичат в една точка, е в сила теоремата на Чева:
[tex]\frac{CM}{MA }.\frac{AD}{DB }.\frac{BL}{LC } =1=>\frac{AD}{DB }.\frac{BL}{LC } =1=>\frac{AD}{ BD}=\frac{LC}{BL }...(1) [/tex]
от свойството на ъглополовящата следва, че:[tex]\frac{LC}{BL }=\frac{AC}{AB }=\frac{b}{c } [/tex]
от правоъгълните триъгълници [tex]\Delta ADC; \Delta BDC=>AD=b.cos\alpha ; BD=a.cos\beta =>[/tex] замествайки в (1) получаваме
[tex]\frac{bcos\alpha }{a cos \beta }=\frac{b}{c } =>c.cos\alpha=a.cos\beta =>sin\gamma cos\alpha =sin\alpha cos\beta [/tex]- последното се получава от синусовата теорема . и до тук засега

[ганка симеонова]

ObsCure, направо мислим като един човек

[nikolavp]

Ето ти идея от къде да тръгнеш. Аз не гледах тригонометрията първо а условието . Необходимо и достатъчно условие тия правички да се пресичат в една точка е
CL - ъглополовяща
BM - медиана
CD - височина

CL.DB.AM=MC.AD.LB(Теорема на Чева)
AM=MC =>
[tex]CL.DB=AD.LB \\ \frac{CL}{LB}=\frac{AC}{AB} \\ => \frac{DB}{AB}=\frac{AD}{AC}[/tex]
Сега [tex]\frac{AD}{AC}=cos\alpha[/tex] ма това другото го въртях с ъглополовящата и не мога да го докарам до никъде Та стигам до [tex]\frac{DB}{AB}=cos\alpha[/tex]

EDIT: Явно е, че ще трябва да се ползва синусовата теорема => [tex]\frac{DB}{BC}=cos\beta \\ \left.DB=cos\beta.BC \\ BC=2Rsin\alpha \right} =>DB=\cos\beta2R\sin\alpha[/tex]
[tex]AB=sin\gamma2R[/tex] => условието се преобразува в:
[tex]\frac{\cos\beta.\cancel{2R}.\sin\alpha}{\sin\gamma\cancel{2R}}=cos\alpha \\ \frac{cos\beta.sin\alpha}{\sin\gamma}=\cos\alpha \\ cos\beta.sin\alpha=cos\alpha.sin\gamma[/tex]

Сега нека вземем нащо условие отгоре, което Emo е дал
[tex]cos\alpha=\frac{\sin\gamma}{\sin\beta+\sin\gamma}\\ sin\beta.cos\alpha+cos\alpha.sin\gamma=sin(180-(\alpha+\beta))\\ \cancel{\sin\beta.cos\alpha}+cos\alpha.sin\gamma=sin\alpha.cos\beta+\cancel{\cos\alpha.sin\beta}[/tex]
С което доказахме твърдението

[ObsCure]

Всъщност,за да направим това,ние трябва да допуснем,че написаното в условието равенство е изпълнено,а то може и да не е(поне до доказване на противното).

[Spider Iovkov]

Първо ще покажем необходимостта на условието. Нека ъглополовящата [tex]AP[/tex] на [tex]\angle BAC[/tex], медианата [tex]BQ[/tex] през върха [tex]B[/tex] и височината [tex]CR[/tex] през върха [tex]C[/tex] се пресичат в точка [tex]O[/tex]. Означаваме с [tex]a, b, c[/tex] големините съответно на страните [tex]BC, AC, AB[/tex].
От [tex]\triangle ARO[/tex] и [tex]\triangle CRB[/tex] имаме [tex]AO=\frac{c-a cos \angle ABC}{cos {\frac{\angle BAC}{2}}}[/tex]. Очевидно е, че [tex]S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABQ}=2(S_{\triangle ABO}+S_{\triangle AOQ}[/tex]. Тогава
[tex]\frac{1}{2}bc sin \angle BAC=AOc sin{\frac{\angle BAC}{2}}+AO\frac{b}{2}sin{\frac{\angle BAC}{2}}=AO sin{\frac{\angle BAC}{2}}(c+\frac{b}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{2}bc sin \angle BAC=\frac{c-a cos \angle ABC}{cos{\frac{\angle BAC}{2}}}sin{\frac{\angle BAC}{2}}(c+\frac{b}{2}),[/tex]
[tex](1) 2bccos^2{\frac{\angle BAC}{2}}=(c-a cos \angle ABC)(2c+b).[/tex]
Като използваме синусовата теорема [tex]\frac{a}{sin \angle BAC}=\frac{b}{sin \angle ABC}=\frac{c}{sin \angle ACB}[/tex] и равенството [tex]2cos^2{\frac{\angle BAC}{2}}=1+cos \angle BAC[/tex], получаваме от [tex](1)[/tex]
[tex]sin \angle ABC sin \angle ACB(1+cos \angle BAC)=(sin \angle ACB - sin \angle BAC cos \angle ABC)(2 sin \angle ACB + sin \angle ABC)[/tex], което дава
[tex]cos \angle BAC=\frac{sin \angle ACB}{sin \angle ABC + sin \angle ACB}[/tex].
Ще докажем, че условието е достатъчно. Нека за [tex]\triangle ABC[/tex] е изпълнено равенството
[tex]cos \angle BAC=\frac{sin \angle ACB}{sin \angle ABC + sin \angle ACB}[/tex].
Като използваме синусовата теорема, преобразуваме равенството във вида
[tex](2) \frac{1}{2}bc sin \angle BAC=\frac{c-a cos \angle ABC}{cos{\frac{\angle BAC}{2}}}sin{\frac{\angle BAC}{2}}(c+\frac{b}{2})[/tex].
Ако с [tex]O[/tex] означив пресечната точка на ъглополовящата [tex]AP[/tex] на [tex]\angle BAC[/tex] с височината [tex]CR[/tex] през върха [tex]C[/tex], то
[tex]AO=\frac{c-a cos \angle ABC}{cos{\frac{\angle BAC}{2}}}[/tex].
Ако медианата [tex]BQ[/tex] пресича ъглополовящата [tex]AP[/tex] в точка [tex]O'[/tex], то ако [tex]O' \cancel \equiv O[/tex], лицето на [tex]\triangle ABQ[/tex] ще бъде различно от лицето на четириъгълника [tex]ABOQ[/tex].
В дясната страна на горното равенство [tex](2)[/tex] е изразено като два пъти лицето на [tex]ABOQ[/tex], равно на лицето на [tex]\triangle ABC[/tex]. Ако [tex]O'\cancel \equiv O[/tex], това е невъзможно. Следователно ъглополовящата [tex]AP[/tex], медианата [tex]BQ[/tex] и височината [tex]CR[/tex] се пресичат в една точка. С това е доказано, че условието е достатъчно.

Ужас!

[ObsCure]

Ееее,поне за пресечната точка O всички сме на едно мнение,хахаха...добро доказателство.Може и по-кратко да има,не е лошо да се помисли в/у подобна алтернатива.

[Spider Iovkov]

Повече няма да пускам такива задачи, защото ядат здравето, .

[martosss]

Ако искаш да спестиш своето може да пускаш само задачи без решения

Впрочем е добре да използваш в случая

[ObsCure]

[ObsCure]

[martosss]

[ObsCure]

[martosss]

[ObsCure]

[nikolavp]