Регистрирайте сеРегистрирайте се

Естествени числа


 
   Форум за математика Форуми -> Теория на числата, Признаци за деление
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Sat Jun 14, 2008 9:23 pm    Заглавие: Естествени числа

Да се намерят всички стойности на естественото число [tex]n[/tex], за които числото
[tex]n^{n+1}+(n+1)^n[/tex]
се дели на [tex]3[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Jun 14, 2008 9:51 pm    Заглавие:

Тая ми се иска да се пробвам да я реша аз.. значи първото което бих направил е да разгледам сбора - при деление на три имаме две възможности това да дава остатък 0 - [tex]n^{n+1}[/tex] и [tex](n+1)^n[/tex] дават и двете остатък 0 или едното остатък 1, а другото - 2, тоесто може да образуваме система:
[tex]\begin{tabular}{|1}n^{n+1}\equiv 0 (mod\: 3)\\(n+1)^n\equiv 0 (mod\: 3)\end{tabular}\cup \begin{tabular}{|1}n^{n+1}\equiv 1 (mod\: 3)\\(n+1)^n\equiv 2 (mod\: 3)\end{tabular}\cup \begin{tabular}{|1}n^{n+1}\equiv 2 (mod\: 3)\\(n+1)^n\equiv 1 (mod\: 3)\end{tabular}[/tex]

Сега остава да я реша, може ли малко време да помисля Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Jun 14, 2008 9:59 pm    Заглавие:

1) [tex]\begin{tabular}{|1}n^{n+1}\equiv 0 (mod\: 3)\\(n+1)^n\equiv 0 (mod\: 3)\end{tabular}\equiv \begin{tabular}{|1}n\equiv 0 (mod\: 3)\\n+1\equiv 0 (mod\: 3)\end{tabular}[/tex] , което е невъзможно Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Jun 14, 2008 10:39 pm    Заглавие:

3) [tex]\begin{tabular}{|1}n^{n+1}\equiv 2 (mod\: 3)\\(n+1)^n\equiv 1 (mod\: 3)\end{tabular}[/tex]
От второто уравнение последователно намираме(или поне аз намирам Very Happy )
[tex]n+1\equiv 1(mod\: 3)[/tex]
[tex]n\equiv 0(mod\: 3)[/tex]
[tex]n^{n+1}\equiv 0(mod\: 3)[/tex] и получавам противоречие, защото по условие последното дава остатък 2 Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Jun 14, 2008 10:47 pm    Заглавие:

2) [tex] \begin{tabular}{|1}n^{n+1}\equiv 1 (mod\: 3)\\(n+1)^n\equiv 2 (mod\: 3)\end{tabular}[/tex]
сега от първото получаваме [tex]n\equiv 1(mod\: 3)[/tex] откъдето можем да представим [tex]n=3k+1\Right[/tex]

[tex]\Right 3k+1\equiv 1(mod\: 3)\Right 3k+2\equiv 2(mod\: 3)\Right (3k+2)^{3k+1}\equiv 2^{3k+1}\equiv (-1)^{3k+1}[/tex]

Получихме [tex](3k+2)^{3k+1}\equiv (-1)^{3k+1}[/tex]

Сега от второто у-е имаме [tex](3k+1+1)^{3k+1}=(3k+2)^{3k+1}\equiv 2\equiv -1(mod\: 3)[/tex]

Получихме [tex](3k+2)^{3k+1}\equiv -1[/tex]

От двете неща имаме [tex](3k+2)^{3k+1}\equiv (-1)^{3k+1}\equiv -1(mod\: 3)\Right 3k+1 [/tex] е нечетно, тоест 3к е четно, тоест к=2l => [tex]\red n=6l+1[/tex], където [tex]l[/tex] e четно


Последната промяна е направена от martosss на Sun Jun 15, 2008 12:23 pm; мнението е било променяно общо 4 пъти
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Sun Jun 15, 2008 10:19 am    Заглавие:

Веднага се вижда, че нито [tex]n[/tex], нито [tex]n+1[/tex] не трябва да се делят на [tex]3[/tex]. Ако [tex]n[/tex] или [tex]n+1[/tex] се дели на [tex]3[/tex], то числото [tex]n^{n+1}+(n+1)^n[/tex] ще има вида [tex]3A \pm 1[/tex] и следователно това число не се дели на [tex]3[/tex].
Всяко естествено число може да се представи в един от трите вида: [tex]3k, 3k+1, 3k+2[/tex]. Както бе отбелязано, [tex]n[/tex] не може да бъде от вида [tex]3k[/tex]. Но [tex]n[/tex] не може да бъде и от вида [tex]3k+2[/tex], понеже тогава числото [tex]n+1=3k+3[/tex] е дели на [tex]3[/tex]. Остава само възможността [tex]n[/tex] да бъде от вида [tex]3k+1[/tex]. Но не за всяко число от този вид числото [tex]n^{n+1}+(n+1)^n[/tex] се дели на [tex]3[/tex].
Имаме: [tex]n^{n+1}+(n+1)^n=(3k+1)^{3k+2}+(3k+2)^{3k+1}[/tex].
Първото събираемо [tex](3k+1)^{3k+2}[/tex] е винаги число от вида [tex]3M+1[/tex], а второто [tex](3k+2)^{3k+1}=[3(k+1)-1)^{3k+1}[/tex] е от вида [tex]3N+(-1)^{3k+1}[/tex]. Тогава
[tex]n^{n+1}+(n+1)^n=3(M+N)+[1+(-1)^{3k+1}][/tex]
се дели на [tex]3[/tex] само ако [tex]1+(-1)^{3k+1}=0[/tex], тоест ако [tex]3k+1[/tex] е нечетно, тоест [tex]3k+1=2l+1[/tex]. Оттук следва, че [tex]l[/tex] трябва да се дели на [tex]3[/tex], с други думи да бъде от вида [tex]l=3m[/tex].
Тогава [tex]n=3k+1=6m+1[/tex]. За всяка стойност на [tex]n[/tex] от този вид числото [tex]n^{n+1}+(n+1)^n[/tex] се дели на [tex]3[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Jun 15, 2008 11:59 am    Заглавие:

може ли някой да ми каже къде греша? До сега от последния случай получих, че n трябва да е нечетно число, ама не мога да го докарам до 6n+1 Sad


П.П. Йеаа, реших я вече Razz
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Теория на числата, Признаци за деление Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.