Задачи

[Мирослав Стоенчев]

Задача 1. a) Нека [tex]\alpha,\ \beta,\ \gamma[/tex] са остри ъгли за които [tex]\tan \alpha+\tan \beta+\tan \gamma=\tan \alpha\tan \beta\tan \gamma.[/tex] Да се докаже, че съществува триъгълник с ъгли [tex]\alpha,\ \beta,\ \gamma.[/tex]

b) Нека [tex]a>0,\ b>0,\ c>0[/tex] са реални числа за които [tex]abc=a+b+c.[/tex] Да се опрости израза [tex]\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{2}{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}}.[/tex]

Задача 2. В [tex]\triangle ABC[/tex] точките [tex]M,K[/tex] принадлежат на отсечката [tex]AB.[/tex] Да се докаже, че [tex]\angle ACM=\angle BCK\Leftrightarrow \frac{|AM|.|AK|}{|BM|.|BK|}=\frac{|AC|^2}{|BC|^2}.[/tex]


Задача 3. Нека [tex]a\in \mathbb{R}[/tex] е реален параметър. Да се докаже, че уравнението [tex]12x^3+12ax^2-8ax-3=0[/tex] има поне един реален корен в [tex][0,1].[/tex]

Задачите са от Общинския кръг на националната олимпиaда по Математика през 2000г, но идейно не се отличават от кандидат-студентска тема.

[Реклама]

[ганка симеонова]

[tex]tg\alpha +tg\beta =tg(\alpha +\beta )(1-tg\alpha tg\beta ) [/tex]
образуваме разликата на двете страни. тогава:
[tex]tg(\alpha +\beta )-tg\alpha tg\beta tg(\alpha +\beta )+tg\gamma -tg\alpha tg\beta tg\gamma =0 [/tex]
[tex](1-tg\alpha tg\beta )(tg(\alpha +\beta )+tg\gamma )=0 [/tex]
от вторият множител следва, че [tex]tg(\alpha +\beta )=-tg\gamma =>\alpha +\beta =\pi -\gamma =>\alpha +\beta +\gamma =\pi [/tex]

нека положим без ограничение [tex]a=tg\alpha ; b=tg\beta ; c=tg\gamma [/tex]
очевидно тези положителни числа удовлетворяват първото условие=> [tex]\alpha ,\beta ,\gamma [/tex] са ъгли в остроъгълен триъгълник. да разгледаме:
[tex]\frac{1}{1+a^2 }=cos^2\alpha =>[/tex]
[tex]cos^2\alpha +cos^\beta +cos^2\gamma +2\sqrt{cos^2\alpha cos^2\beta cos^2\gamma }=1-2cos\alpha cos\beta cos\gamma +2cos\alpha cos\beta cos\gamma =1 [/tex]

забележка: ползвах, че за всеки триъгълник [tex]cos^2\alpha +cos^2\beta +cos^2\gamma =1-2cos\alpha cos\beta cos\gamma [/tex], което не е трудно да се докаже..
нещо вярно ?

[zhivo_zad]

Задача .3.

[bobson]

за последната -

f(2/3) = 5/9 > 0
f(0) = -3 < 0
=>От Теоремата на Болцано следва че има корен между 0 и 1

[r2d2]

Малко неочаквано!

f(0)=-3. Да допуснем, че ф(х)<0 за 0<х<1, тогава и [tex]\int^1_0 f(x) \;dx < 0[/tex], но
[tex]\int^1_0 12x^3+12ax^2-8ax-3 \;dx = 0[/tex]