Малко помощ с 2 задачки...

[add1ctedbg]

Това са задачките.Благоря предварително

[Реклама]

[Mister ABC]

Тъй като не знам как се пише криво d за частна производна ще използувам индекси означаващи спрямо коя от променливите е производната.
Така първото уравнение е
(1) [tex]f_x+f_y+f_z=0[/tex] и трябва да проверите, че функцията

(2) [tex]f(x,y,z)=\varphi (x-y,y-z)[/tex] където [tex]\varphi [/tex] е произволна диференцируема функция на две променливи (даже гладка т.е. производните и са непрекъснати), го удовлвтворява.

Тъй като [tex]\varphi =\varphi (u,v)[/tex], а от своя страна

(3) [tex]u=x-y [/tex] --> [tex]u_x=1, u_y=-1, u_z=0[/tex]
(4) [tex]v=y-z [/tex] --> [tex]v_x=0, v_y=1, v_z=-1[/tex]

диференцирайки по правилото за съставна функция намираме

[tex]f_x=\varphi _uu_x+\varphi _vv_x =\varphi _u1+\varphi _v0=\varphi _u[/tex]
[tex]f_y=\varphi _uu_y+\varphi _vv_y=\varphi _u(-1)+\varphi _v1=-\varphi _u+\varphi _v[/tex]
[tex]f_z=\varphi _uu_z+\varphi _vv_z=\varphi _u0+\varphi _v(-1)=-\varphi_v[/tex]

Замествайки така намерените изрази за частните производни на f в лявата част на уравнението (1) получаваме
[tex]f_x+f_y+f_z=\varphi _u+(-\varphi _u+\varphi _v)-\varphi _v=0[/tex]

По напълно аналогичен начин намираме за второто уравнение

(5) [tex]-xf_x+yf_y+zf_z=0[/tex], което се удовлетворява от функцията

(6) [tex]f(x,y,z)=\varphi (xy,\frac{y}{ z})[/tex]

Тук отново [tex]\varphi =\varphi (u,v)[/tex] , но сега

(7) [tex]u=xy[/tex] --> [tex]u_x=y, u_y=x, u_z=0[/tex]
(8) [tex]v=\frac{y}{z } [/tex] --> [tex]v_x=0,v_y=\frac{1}{z } ,v_z=-\frac{y}{z^2 } [/tex]
Тогава
[tex]f_x=\varphi_uu_x+\varphi_vv_x=\varphi _uy+\varphi _v0=y\varphi _u [/tex]
[tex]f_y=\varphi_uu_y+\varphi_vv_y=\varphi _ux+\varphi _v\frac{1}{z } =x\varphi _u+\frac{1}{z }\varphi _v [/tex]
[tex]f_y=\varphi_uu_z+\varphi_vv_z=\varphi _u0+\varphi _v(-\frac{y}{z ^2})=-\frac{y}{ z^2}\varphi _v [/tex]

Замествайки в лявата страна на уравнението (5) получаваме

[tex]-xf_x+yf_y+zf_z=-xy\varphi _u+y(x\varphi _u+\frac{1}{z }\varphi _v)+z(-\frac{y}{z^2 } )\varphi _v=0 [/tex]

[add1ctedbg]

10X