Задача за лице на триъгълник

[Manchev]

В остроъгълния триъгълник ABC е построена височината CD. Лицето на триъгълника ACD се отнася към лицето на триъгълника BCD като 2:5. Ъгълът ACB е 60°, а дължината на страната BC е а. Намерете лицето на триъгълника АВС и дължината на радиуса на описаната около този тригълник окръжност.

Задачата не е лоша, аз лично се затрудних, въртях я с различни изразявания, но не мога да стигна до това, което ми трябва. Първият и най-очевиден извод, до който стигам е, че AD:DB= 2:5. Оттам пробвах в двата правоъгълни триъгълника с Питагорови теореми да приравня височината h. После и косинусова теорема за ABC. В общи линии с такива врътки стигнах до квадратното 70AC² +21√3AC -28a² = 0, което ми се струва доста сложничко. Ще се радвам на идеи и помощ.

[Реклама]

[mathinvalidnik]

[nikolavp]

Имаш грешка в уравнението. Сега ще ти пусна решение

Нека AD=2x;DB=5x;AC=y => От двете питагорови теорми, за двата правоъгълника триъгълника имаш:
[tex]\left. \triangle ADC: CD^2=y^2-4x^2 \\ \triangle DBC: CD^2=a^2-25x^2 \right}=>a^2-25x^2=y^2-4x^2(1)[/tex]

[tex]\triangle ABC: Tcos => 49x^2=a^2+y^2-{2}\frac{1}{\cancel{2}}ay(2)[/tex]

От (1) и (2) правиш система като от едно директно изразяваш [tex]x^2[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l} x^2=\frac{a^2-y^2}{21} \\ 49\frac{(a^2-y^2)}{21}=a^2+y^2-ay /.21 \end{tabular}[/tex]

[tex]49a^2-49y^2=21a^2+21y^2-21ay \\ 70y^2-21ay-28a^2=0 \\ 10y^2-3ay-4a^2=0[/tex]На това уравнение корените са [tex]\frac{16a}{20}=\frac{4a}{5}[/tex] и [tex]-a[/tex], което не е решение . Сега остана само да се замести във формулата за лице => [tex]S_{ABC}=\frac{\cancel{4}a}{5}.a.\frac{\sqrt{3}}{\cancel{4}}=\frac{\sqrt{3}a^2}{5}[/tex]


EDIT: Корените бяха объркани

[ганка симеонова]

означаваме: [tex]AD=2x; BD=5x; AC=b; \angle A=\alpha [/tex]
[tex]\Delta ADC:cos\alpha =\frac{DA}{ AC}=\frac{2x}{ b} [/tex]
прилагаме кос. т- ма за АВС, за страната СВ=а:
[tex]a^2=b^2+49x^2-2.b.7x.cos\alpha =>a^2=b^2+49x^2-14xb.\frac{2x}{b } =>[/tex]
[tex]21x^2=a^2-b^2....(1) [/tex]
прилагаме пак кос.т-ма, но за страната АВ=>
[tex]49x^2=a^2+b^2-ab....(2)[/tex]
умножаваме (1) по 7. а(2) по 3 и изваждаме двете уравнения. получаваме:
[tex]4a^2+3ab-10b^2=0/:b^2=>4(\frac{a}{ b})^2-3\frac{a}{b }-10=0 [/tex]
полагаме [tex]\frac{a}{b }t>0 [/tex] и решаваме полученото квадратно уравнение. то има само един положителен корен [tex]t=\frac{5}{4 } =>\frac{a}{b }=\frac{5}{4 }=>b=\frac{4a}{ 5}[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{1}{ 2}AC.BC.sin60^\circ =\frac{a^2\sqrt{3} }{5 } [/tex]
за радиуса на опиасаната. намираме АВ и прилагаме син. т-ма

[ганка симеонова]

никола, мисля че имаш грешка в сметките. щом AD<DB=>AC<BC, а ти получаваш обратното...единият корен е 16а/20, а не 16а/10

[nikolavp]

[Manchev]

Благодаря ви много! Това, което най-много ме радва, е че разсъждавах по верен път в общи линии.

[r2d2]

Само тригонометрия.