Малко помощ

[Garoll]

Да се докаже , че за всяко естествено число "n" числото [tex]a_{n}=(n+1)(n+2)...(n+n)[/tex] се дели на [tex]2^{n}[/tex] , но не се дели на [tex]2^{n+1}[/tex](задачата е от делимост на числата)
Горе долу знам как се решават , но тази нещо не ми излиза...ако може малко помощ.
(знам , че се решава с индукция и т.н. , но както казах не ми излиза)

[Реклама]

[Saposto_MM]

Допускаме, че е a_k се дели на 2^k. Ще докажем, че 2^k+1 | a_k+1. Разглеждаме частното [tex]\frac{a_{k+1}}{a_{k}}[/tex]. Лесно се вижда, че то е равно на 2(2k+1). Това означава, че a_k+1 се дели на a_k, следователно 2^k | a_k+1. И понеже числителят е число делящо се на 2, но не и на 4, то 2^k+1 | a_k+1.
Доказването, че 2ⁿ⁺¹ не дели a_k се извършва аналогично посредством разглеждането на частното [tex]\frac{a_{k+1}}{a_{k}}[/tex].
Аз първо пробвах без индукция, но не стана. Ще се радвам ако някой напише такова доказателство (ако въобще има).

[Garoll]

Благодаря

[Garoll]

Нещо не мога да разбера как [tex]\frac{a_{k+1}}{a_{k}}=2(2k+1)[/tex].
Аз получавам така [tex]\frac{(k+1+1)(k+1+2)...(k+1+k+1)}{(k+1)(k+2)...(k+k)}=\frac{(k+2)(k+3)...2(k+1)}{(k+1)(k+2)...2k}[/tex]
Би ли написал малко по-подробно как се получава...

[Saposto_MM]

k+2 в знаменател го съкращаваш с k+1+1 в числител. Същото правиш със k+3 и k+1+2.
Така продължаваш до k+k и k+1+k-1. Като направиш това получаваш [tex]\frac{(2k+1)(2k+2)}{k+1}=2(2k+1)[/tex]

[Saposto_MM]

Обобщение на задачата: Да се докаже, че ако "k" и "n" са естествени числа, то (n+1)(n+2)...(kn) се дели на kⁿ, но не и на kⁿ⁺¹.

[martosss]

индукцията е най-доброто решение