Задача за страни на триъгълник

[Saposto_MM]

Това е една интересна задача, която видях наскоро.
Нека a, b и c са реални положителни числа. Докажете, че ако за всяко естествено число n, aⁿ, bⁿ и cⁿ могат да бъдат страни на триъгълник, то поне две от числата a, b и c са равни.

[Реклама]

[r2d2]

Нека с е най-голямата страна. Допускаме, че с>а и c>b.
От условието [tex]a^n+b^n>c^n [/tex] е в сила за всяко n.
Тогава:

[tex](\frac{a}{c})^n+(\frac{b}{c})^n>1.[/tex]
Когато n стане много голямо лявата страна клони към 0. Но 0<1, противоречие, което се дължи на допускането.