Помощ за логаритмични уравнвния

[DMX`]

Тука срещам затруднение с няколко логаритмични уравнения и много бих се радвал ако някой ми помогне. Благодаря предварително Ето ги

1. lg^2(100x)+lg^2(10x)=14+lg1/x

2. lg(10x).lg(0,1x)=lgx^3-3

3. lg(3^x+x-17)=xlg30-x

[Реклама]

[M_Velinova]

Molq napi6i gi po precizno da sys skobi i znak za umnojenie, kydeto ima takyv.

Vel

[DMX`]

[Lubo]

Здравей DMX`

Както наверно и в клас са ви казали, логаритмичните уравнения се свеждат до един от следните 3 случая

1. lg(A) = lg(B), където А и В са алгебрични изрази, по всяка вероятност включващи неизвестното.
Тогава трябва да решиш уравнението
А = В, което е вече без логаритми

2. lg(A) = N, където А е алгебричен израз, по всяка вероятност включващ неизвестното, а N е число.
Тогава трябва да решиш уравнението
А = 10^N, което е вече без логаритми

3. Преобразуваш началното уравнение така, че да стане уравнение, в което неизвестното се проявява само във вида lg(A), където А е алгебричен израз, включващ неизвестното.
Тогава решваш за lg(A) и прилагаш указанията от (2).
Може да положиш u = lg(A), ако това ще улесни работата.

---------------

Например твоето първо уравнение се решава по третия начин, но първо трябва да го преобразуваш, така че да стане уравнение за
lg(x)
Може да положиш u = lg(x)

За това преобразуване трябва да използуваш свойствата на логаритмите

(a) lg(A*B) = lg(A) + lg(B)
(б) lg(A/B) = lg(A) - lg(B)
(в) lg(Aⁿ) = nlg(A)
(г) lg(A/B) = - lg(B/A)
(д) lg(10) = 1
(е) lg(1) = 0

Например:
lg²(100x) = [lg(100x)]²=
[lg(10²) + lg(x)]²=
[2lg(10) + lg(x)]² =
[2 + lg(x)]² =
(2 + u)², където u = lg(x)

По подобен начин се преобразува
lg²(10x)

а за lg(1/x) използувай формула (г)

От там нататък е лесно - решаваш квадратно уравнение за 'u' и на края се връщаш към полагането

u = lg(x) за да намериш 'x'

задачата се свежда до случая (2.)

----------------

Не е трудно и второто уравнение, за което питаш.

Преобразуваш го до уравнение за 'lg(x)'
Помниш, че 0.1 = 1/10 нали?
За lg(x³) прилагаш формула (в)

----------------

Третото уравнение е мааалко по-трудничко
Преобразуваш дясната му страна

xlg(30) = lg(30^x) - прилагаш формула (в)

- x = - lg(10^x) - Защо?

Тогава крайният израз за дясната страна става

lg(3^x)

Уравнението тогаца се свежда до

lg(3^x + x - 17) = lg(3^x), което след прилагане на правило (1.) се решава елементарно.

Успех!

Любо

[phantom88]

Всичко доста добре си обеснил само едно не разбирам как xlg30-x=lg(3^x)Ако можеш го напиши как става.

[Lubo]

xlg30 - x = x(lg30) -x = x(lg3*10) - x = x(lg3 + lg10) = x(lg3 + 1) - x = xlg3 + x - x = xlg3 = lg3^x

Lubo

[phantom88]

Така вече ми стана ясно.
Благодаря