моля ви да ми помогнете

[veselin400000]

може и само идеята не е нужно цялостно описание задачките ми са доста но ще започна с тези 3 за сега
1) диагоналите на четириъгълника ABCD се пресичат в т.P лицата на триъгълниците ABP, BCP, CDP DAP са S1,S2,S3 и S4 докажете, че S1.S3=S2.S4
2) ако за страните на триъгълника е изпълнено а² + b²=2c² то γ≤60°
3) в ромба ABCD BD=d1 AC=d2 ако R1 е описана около ▲ABD a R2 около ABC докажете d1=4R₁²R₂/(R₁²+R₂²)

[Реклама]

[veselin400000]

моля ви никой ли няма да ми помогне нека са поне идеите на задачките

[nikolavp]

1) Нека [tex]\angle APB= \angle DPC=\alpha;\angle APD = \angle BPC=\beta[/tex]

[tex]S_{1}=\frac{AP.PB.sin\alpha}{2} \\ S_{2}=\frac{PB.CP.sin\beta}{2} \\ S_{3}=\frac{DP.PC.\sin\alpha}{2} \\ S_{4}=\frac{AP.PD.sin\beta}{2}[/tex]

=> [tex]S_{1}.S_{3}=S_{2}.S_{4}[/tex] добива вида ... Довърши си я като използваш, че [tex]sin\alpha = \sin(180-\beta)=\sin\beta[/tex]

[evgeni91]

нека: AP=x,BP=y,CP=m,DP=n;...[tex]\angle[/tex]APB=α
тогава...
S(ABP)=S₁=1/2.sinα.x.y
S(CDP)=S₃=1/2.sinα.m.n
S(BCP)=S₂=1/2.sin(180-α).m.y=1/2.sin(180-α).m.y
S(ADP)=S₄=1/2.sin(180-α).x.n=1/2.sin(180-α).m.y
S₁.S₃=1/4.sin²α.x.y.m.n
S₂.S₄=1/4.sin²α.x.y.m.n
=>S₁.S₃=S₂.S₄

[evgeni91]

2.) 2c²=a²+b²
,но за всеки ▲ е изпълнено:
c²=a²+b²-2ab.cosγ |.2
2c²=2a²+2b²-4ab.cosγ
=>a²+b²=2a²+2b²-4ab.cosγ
a²+b²-4ab.cosγ=0
a²-4ba.cosγ+b²=0
...решаваме ката квадратно спрямо "a" или "b":
a²-4b.cosγ.a+b²=0
D=(-4b.cosγ)²-4b²[tex]\ge[/tex]0
16b²cos²γ-4b²[tex]\ge[/tex]0
4b²(4cos²γ-1)[tex]\ge[/tex]0
4cos²γ-1[tex]\ge[/tex]0
cos²γ[tex]\ge[/tex]1/4
cosγ[tex]\ge[/tex]1/2
=>γ[tex]\le [/tex]60[tex]^\circ[/tex]

[nikolavp]

[tex]cos^2\gamma \ge \frac{1}{4} \\ cos\gamma \le -\frac{1}{2} \cup \cos\gamma \ge \frac{1}{2} [/tex]
=> Може и [tex]\gamma \in [120^\circ;180^\circ)[/tex] поне аз така виждам нещата, ма може и някъде да се oмазах отново

[evgeni91]

така е..., но в задачата се искаше само: γ[tex]\le[/tex] 60[tex]^\circ[/tex]