Задача

[Garoll]

Височината CD разделя правоъгълния триъгълник ABC(ъгъл C = 90) на триъгълници ADC и CDB.Докажете , че в тези триъгълници медианите AM и CN са перпендикулярни.

Аз по тази задача имам един такъв въпрос.Ясно е , че BCD е подобен на ABC.Вярно ли е , че медианата AM дели ъгъл DAC на части , които са равни на частите , на които медианата CN дели ъгъла DCB ?

[Реклама]

[Пафнутий]

Докажи, че точка М е ортоцентър в [tex]\Delta ANC[/tex] и за подсказка [tex]MN[/tex] - средна отсечка

[Garoll]

Добре , мерси , а въпросът , по който питах?Така ли е?

[Пафнутий]

Навярно си искал да кажеш, че [tex]\Delta ACD\approx \Delta CBD[/tex] и да вярно е, защото всички части на подобните триъгълници са в същото отношение-медиани, ъглополовящи, височини

[ганка симеонова]

означаваме [tex] \angle AMD=\alpha [/tex]
[tex]\Delta ADC\approx \Delta CDB=>\frac{AD}{ CD}=\frac{CD}{DB } =>[/tex]
[tex]1)\frac{AD}{ DC}=\frac{DM}{ DN} [/tex]
[tex]2)\angle ADM=\angle CDN=90^\circ [/tex]
=> по 2- ри признак [tex]\Delta ADM\approx \Delta CDM=>\angleAMD=\angle CND=\alpha [/tex]
[tex]=>\angle AMD=\alpha =>DMO=180-2\alpha [/tex]; O-пресечна точка на двете медиани АМ и CN.
тогава, сумирайки ъглите в MDNO, получаваме, че [tex]\angle DMO=90^\circ [/tex]

[Пафнутий]

Не е ли по-лесно с ортоцентър?

[Garoll]

Аз си мислех за нещо такова.
[tex]ADC\approx BDC[/tex]
[tex]\angle DCN = \alpha [/tex] - страната DC е срещу ъгъл DBC = β
[tex]\angle DAM = \angle NCD[/tex] - това , за което питах дали е вярно(тук страната AD е срещу ъгъл DCA , който също е равен на β.
Означаваме с F пресечната точка на двете медиани.
Разглеждаме триъгълник DCN , ъгъл DNC = 90 - α.
Разглеждаме триъгълник AFN
ъгъл NAF = α
ъгъл ANF = 90 - α
Следва , че ъгъл AFN = 90.
Така ли е?

[ганка симеонова]

гарол, това което твърдиш е вярно, но само защото триъгълниците ADC и CDB са подобни и от там, по 2-ри признак=>ADM и CDN са подобни