Тетраедър

[Мирослав Стоенчев]

Задача 1. При зададени дължини на 6-те ръба на тетраедър, да се намери ъгъла между произволна двойка срещуположни ръбове.

[Реклама]

[Grands]

Подобна задача. При зададени 6-те ръба на тетраедър, да се намери обема му (формула на Пиеро де ла Франческа).

[soldier_vl]

За ъгъл между 2 стени става ли?

[Nona]

[Мирослав Стоенчев]

За обема: [tex]V_{ABCD}=\frac{1}{6}a_1b_1c_1\sqrt{1+2.\cos\angle ADB.\cos\angle BDC.\cos\angle CDA-\cos^2\angle ADB-\cos^2\angle BDC-\cos^2\angle CDA}=[/tex]

[tex]=\frac{1}{6}a_1b_1c_1\sqrt{\frac{4(a_1b_1c_1)^2+(a_1^2+b_1^2-c^2)(b_1^2+c_1^2-a^2)(c_1^2+a_1^2-b^2)-c_1^2(a_1^2+b_1^2-c^2)^2-a_1^2(b_1^2+c_1^2-a^2)^2-b_1^2(c_1^2+a_1^2-b^2)^2}{4(a_1b_1c_1)^2}}=[/tex]

[tex]=\frac{1}{12}\sqrt{4(a_1b_1c_1)^2+(a_1^2+b_1^2-c^2)(b_1^2+c_1^2-a^2)(c_1^2+a_1^2-b^2)-c_1^2(a_1^2+b_1^2-c^2)^2-a_1^2(b_1^2+c_1^2-a^2)^2-b_1^2(c_1^2+a_1^2-b^2)^2}.[/tex]

Нека някой се потруди и да запише формулката като преработи полученото и достигне до симетричен запис относно [tex]a_i,b_i,c_i,\ i=1,2.[/tex] Ако има време разбира се

[Grands]

Можеш ли да обясниш как получаваш първия формулата. Аз си мислих за проекциите на три от стените върху четвъртата, оттам формулата за отношението на лицата и косинуса на двустенния ъгъл, но пак не мога да го направя.

[Мирослав Стоенчев]

Формулата по-горе се извежда лесно, нека някой форумец да се изяви- може да направи и чертеж