3-та задача от изпита в УАСГ 2006

[SwollenMembers]

Дадена е правилна 3 ъгълна пирамида ABCM с основен ръб AB=a и двустенен ъгъл [tex]\gamma [/tex] между две съседни околни стени , такъв че [tex]\frac{\pi }{ 3} < \gamma < \pi [/tex]

А) Намерете обема на пирамидата

Б) За коя стойност на [tex] sin \gamma [/tex] всички ръбове на пирамидата са равни помежду си

В) За тази стойност на sin [tex] \gamma [/tex] да се намери cos на ъгъла между правата AM и всисочината BP в [tex]\Delta BCM [/tex]

Стигам донякъде на А , но ....

[Реклама]

[ганка симеонова]

[tex]\Delta ADT:cotg\frac{\gamma }{2 } =\frac{DT}{AT }=>DT=\frac{a}{ 2}cotg\frac{\gamma }{ 2} =>S_{ACT}=\frac{1}{ 2}AC.DT=\frac{a^2}{4 }cotg\frac{\gamma }{2 } [/tex]
[tex]sin{\frac{\gamma }{2 }}=\frac{AD}{AT } =>AT=\frac{a}{2sin{\frac{\gamma }{2 } }} [/tex]
[tex]\Delta ATB: sin\alpha =\frac{AT}{ AB}=\frac{1}{sin{\frac{\gamma }2} } =>cos\alpha =\frac{\sqrt{4sin^{2}{\frac{\gamma }{ 2} }-1 }}{2sin{\frac{\gamma }{2} } } [/tex]
[tex]\Delta MNB:cos\alpha =\frac{NB}{MB }=>MB=\frac{a sin {\frac{\gamma }{2}} }{ \sqrt{4sin^{2}{\frac{\gamma }{ 2} }-1} } [/tex]
[tex]V=\frac{1}{ 3}S_{ACT}BM=\frac{a^3}{12 }\frac{cos{\frac{\gamma }{2 } }}{\sqrt{4sin^{2}{\frac{\gamma }{ 2} }-1} } [/tex] (тук използвам, че ако едно сечение е перпендикулярно на околен ръб, обемът е 1/3. лицето на сечението. околния ръб)
всички ръбове на пирамидата ще са равни, ако ъгъл алфа= 60 градуса.тогава:
[tex]=>sin60^\circ =\frac{1}{sin{\frac{\gamma }{ 2}}}=> sin{\frac{\gamma }{2} }=\frac{1}{\sqrt{3} }=>cos{\frac{\gamma }{ 2}}=\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{3} }=>sin\gamma = \frac{2\sqrt{2} }{3 } [/tex]
построяваме[tex]AL\bot MG; AG[/tex]-проекция на[tex]AL[/tex]в/у основата. [tex]AG\bot CB=>AL\bot CB=>AL\bot (CBM)=>ML-[/tex]проекция на [tex]AM[/tex]в/у[tex](BMC)[/tex]
тук ще ползвам теоремата за трите косинуса, която гласи, че:
косинусът на ъгъла, която една наклонена образува с права от дадена равнина=косинуса на ъгъла м/у наклонената и нейната проекция. косинуса на ъгъла м/у проекцията и правата от равнината=>
[tex]cos\angle (AM;BP)=cos\angle (AM;ML).cos\angle (ML;BP) [/tex]
остава да се намерят вторите косинуси, което не е трудно...

[SwollenMembers]

Благодаря много ! За условие А и аз се справих в крайна сметка , макар и по-дълъг път За Б може да се използват доста неща от А) , но вече В никога нямаше да се сетя сам Благодаря !!